44
Vo ici le graphe des sous-groupes
lHlg
/î�
(a)
(b)
(ab)
�î/
(a
2
)
î
(e)
Th éorie des groupes
2.3.3 La structure d'algèbre est bien définie par les produits des quatre éléments d'une
base. On peut vérifier l'associativité de tous les produits comme (ij}k = kk = -1, i(jk) =
ii = -1. Mais il est plus éclairant d'utiliser la bijection suggérée. Commençons par observer
que l'ensemble des matrices est un lî-espace vectoriel de dimension 4 et engendré par les
matrices :
(1 0) (i O) ( 0 1) (0 i)
0 1
0 -i
-1 0
i 0
On vérifie que ces matrices vérifient les relations définissant les produits de i,j, k, la première
étant associée à l. Définissons donc la bijection en associant à ces quatre matrices les éléments 1, i,j, k. On a ainsi un isomorphisme d'algèbre, l'associativité du produit de matrices
se transporte dans lHl. Pour être plus précis, la bijection s'écrit :
(
X + iy Z + it )
,
. k
•
•
1-+ X + 1y + JZ + t
-z +1t x-1y
Une matrice est inversible ssi son déterminant est non nul ; or ce déterminant est
lx + iyl
2
+ lz + itl
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
donc non nul pour tout élément de lHl autre que le vecteur nul. De plus, l'inverse d'un élément
de lHl est bien dans lHl et s'écrit
,
,
-1
X - iy - jz - kt
q = X + IY + JZ + kt =} q = 2 2 2 2
X +y +z +t
et lHl est un corps non commutatif. On peut remarquer que si q = x - iy - jz - kt, on a
q q = x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
• De plus, cette conjugaison est l'image dans lHl de l'application A 1-+
1
A
dans l'ensemble des matrices complexes, et en a les propriétés. D'après les propriétés de la
multiplication, on voit que les sous-ensembles vect( l, i), vect(l ,j} et vect(l, k) sont des corps
isomorphes à C, mais ce ne sont pas les seuls, tous les quaternions de la forme q = yi + ij + tk
ont un carré égal au réel -y
2
- z
2 - t
2
, et vect( l, q ) est alors un corps isomorphe à C.
Si l'on considère maintenant l'ensemble {±1, ±i, ±j , ±k}, c'est un sous-groupe multiplicatif de lHl*, isomorphe à lHls . On fait par exemple correspondre a à i et b àj. On trouve donc
deux représentations matricielles de lHl 8 , celle issue de la définition de lHl
.
(i 0)
l
1-+
0 -i
. ( 0 1)
J
I-+
-1 0
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Vo ici le graphe des sous-groupes
lHlg
/î�
(a)
(b)
(ab)
�î/
(a
2
)
î
(e)
Th éorie des groupes
2.3.3 La structure d'algèbre est bien définie par les produits des quatre éléments d'une
base. On peut vérifier l'associativité de tous les produits comme (ij}k = kk = -1, i(jk) =
ii = -1. Mais il est plus éclairant d'utiliser la bijection suggérée. Commençons par observer
que l'ensemble des matrices est un lî-espace vectoriel de dimension 4 et engendré par les
matrices :
(1 0) (i O) ( 0 1) (0 i)
0 1
0 -i
-1 0
i 0
On vérifie que ces matrices vérifient les relations définissant les produits de i,j, k, la première
étant associée à l. Définissons donc la bijection en associant à ces quatre matrices les éléments 1, i,j, k. On a ainsi un isomorphisme d'algèbre, l'associativité du produit de matrices
se transporte dans lHl. Pour être plus précis, la bijection s'écrit :
(
X + iy Z + it )
,
. k
•
•
1-+ X + 1y + JZ + t
-z +1t x-1y
Une matrice est inversible ssi son déterminant est non nul ; or ce déterminant est
lx + iyl
2
+ lz + itl
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
donc non nul pour tout élément de lHl autre que le vecteur nul. De plus, l'inverse d'un élément
de lHl est bien dans lHl et s'écrit
,
,
-1
X - iy - jz - kt
q = X + IY + JZ + kt =} q = 2 2 2 2
X +y +z +t
et lHl est un corps non commutatif. On peut remarquer que si q = x - iy - jz - kt, on a
q q = x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
• De plus, cette conjugaison est l'image dans lHl de l'application A 1-+
1
A
dans l'ensemble des matrices complexes, et en a les propriétés. D'après les propriétés de la
multiplication, on voit que les sous-ensembles vect( l, i), vect(l ,j} et vect(l, k) sont des corps
isomorphes à C, mais ce ne sont pas les seuls, tous les quaternions de la forme q = yi + ij + tk
ont un carré égal au réel -y
2
- z
2 - t
2
, et vect( l, q ) est alors un corps isomorphe à C.
Si l'on considère maintenant l'ensemble {±1, ±i, ±j , ±k}, c'est un sous-groupe multiplicatif de lHl*, isomorphe à lHls . On fait par exemple correspondre a à i et b àj. On trouve donc
deux représentations matricielles de lHl 8 , celle issue de la définition de lHl
.
(i 0)
l
1-+
0 -i
. ( 0 1)
J
I-+
-1 0
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