2 • Exemples de groupes
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2.3.2 Pour déterminer les sous-groupes d'un groupe fini, il y a une méthode « systématique » mais parfois un peu fastidieuse. On considère les groupes engendrés par un élément
(ils sont donc tous cycliques), puis on considère les sous-groupes obtenus en ajoutant un nouvel élément à tous ces sous-groupes, et ainsi de suite.
Dans le cas du groupe diédral, on obtient donc d'abord :
• Cinq sous-groupes à deux éléments engendrés par les cinq éléments d'ordre 2; ce sont :
{e, b}, {e, ab}, {e, a 2 b}, {e, a 3 b}, {e, a 2 }
Ils sont tous les cinq isomorphes à Z/2.
• Un sous-groupe d'ordre 4 engendré par l'un des deux éléments d'ordre 4, (a ou a 3 ). C'est
donc le groupe cyclique {e, a, a 2 , a 3 } isomorphe à Z/4.
• Deux sous-groupes d'ordre 4 obtenus en ajoutant a
2
à l'un des quatre premiers groupes de
deux éléments. On obtient ainsi le groupe {e, a
2
, b, a
2
b} et le groupe {e, a
2
, ab, a
3
b }. Ces
deux groupes à quatre éléments ne sont pas cycliques (pas d'élément d'ordre 4) et sont
donc isomorphes à Z/2 x Z/2.
En ajoutant le groupe réduit à { e} et ][)) 8 lui-même, on obtient donc dix sous-groupes, et tous
les sous-groupes propres sont commutatifs.
Lesquels de ces groupes sont normaux dans ][)) 8 ? Les trois sous-groupes à quatre éléments le
sont. Le groupe { e, a
2
} qui est le centre, est également normal dans ][)) 8 , mais ce n'est pas vrai
des autres. On obtient ainsi le schéma suivant :
][))g
/î�
(a
2
,ab)
(a)
(a
2
,b)
/î�î/î�
(a 3 b)
(ab)
(a 2 )
(b)
(a 2 b)
�1�
(e)
Dans le cas du groupe quaternionique :
• Un sous-groupe à deux éléments engendré par l'élément d'ordre deux a
2
= b
2
; c'est
{e, a
2
} isomorphe à Z/2.
• Trois sous-groupes d'ordre quatre engendrés par l'un des six éléments d'ordre quatre. Ce
sont : {e, a, a 2 , a 3 }, {e, b, a 2 , a 2 b},{e, ab, a 2 , a
3
b}, tous les quatre sont isomorphes à
Z/4, et contiennent le groupe d'ordre deux qui est le centre.
Soit au total six sous-groupes. Il est remarquable que :
• tous ces sous-groupes propres sont commutatifs ;
• ils sont tous normaux dans IHls.
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2.3.2 Pour déterminer les sous-groupes d'un groupe fini, il y a une méthode « systématique » mais parfois un peu fastidieuse. On considère les groupes engendrés par un élément
(ils sont donc tous cycliques), puis on considère les sous-groupes obtenus en ajoutant un nouvel élément à tous ces sous-groupes, et ainsi de suite.
Dans le cas du groupe diédral, on obtient donc d'abord :
• Cinq sous-groupes à deux éléments engendrés par les cinq éléments d'ordre 2; ce sont :
{e, b}, {e, ab}, {e, a 2 b}, {e, a 3 b}, {e, a 2 }
Ils sont tous les cinq isomorphes à Z/2.
• Un sous-groupe d'ordre 4 engendré par l'un des deux éléments d'ordre 4, (a ou a 3 ). C'est
donc le groupe cyclique {e, a, a 2 , a 3 } isomorphe à Z/4.
• Deux sous-groupes d'ordre 4 obtenus en ajoutant a
2
à l'un des quatre premiers groupes de
deux éléments. On obtient ainsi le groupe {e, a
2
, b, a
2
b} et le groupe {e, a
2
, ab, a
3
b }. Ces
deux groupes à quatre éléments ne sont pas cycliques (pas d'élément d'ordre 4) et sont
donc isomorphes à Z/2 x Z/2.
En ajoutant le groupe réduit à { e} et ][)) 8 lui-même, on obtient donc dix sous-groupes, et tous
les sous-groupes propres sont commutatifs.
Lesquels de ces groupes sont normaux dans ][)) 8 ? Les trois sous-groupes à quatre éléments le
sont. Le groupe { e, a
2
} qui est le centre, est également normal dans ][)) 8 , mais ce n'est pas vrai
des autres. On obtient ainsi le schéma suivant :
][))g
/î�
(a
2
,ab)
(a)
(a
2
,b)
/î�î/î�
(a 3 b)
(ab)
(a 2 )
(b)
(a 2 b)
�1�
(e)
Dans le cas du groupe quaternionique :
• Un sous-groupe à deux éléments engendré par l'élément d'ordre deux a
2
= b
2
; c'est
{e, a
2
} isomorphe à Z/2.
• Trois sous-groupes d'ordre quatre engendrés par l'un des six éléments d'ordre quatre. Ce
sont : {e, a, a 2 , a 3 }, {e, b, a 2 , a 2 b},{e, ab, a 2 , a
3
b}, tous les quatre sont isomorphes à
Z/4, et contiennent le groupe d'ordre deux qui est le centre.
Soit au total six sous-groupes. Il est remarquable que :
• tous ces sous-groupes propres sont commutatifs ;
• ils sont tous normaux dans IHls.
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