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Théorie des groupes
3) Donner une version « matricielle» d'un groupe dicyclique. On s'inspirera de l'exercice
1.1.21
4) Reconnaître les groupes dicycliques pour m = 1, m = 2, m = 3.
SOLUTIONS
2.3.1 1) Les trois groupes Z/8, Z/4 x Z/2, Z/2 x Z/2 x Z/2 sont des groupes à huit éléments ; ils ne sont pas isomorphes, il suffit pour s'en convaincre de considérer les éléments
d'ordre 2. Nous verrons dans le chapitre 4 qu'il n'y a pas d'autre groupe commutatif ayant
huit éléments.
2) La formule ba = a
3
b, ainsi que l'ordre de a et de b permet de calculer tous les produits
formés de puissances consécutives de a et de b. On voit alors que les éléments de [)) 8 et de
llll 8 sont e, a, a
2
, a
3
, b, ab, a
2
b, a
3
b. Et l'on obtient facilement les tables. Pour ID> 8
* Il e a a
2
a
3
1 b ab a
2
b a
3
b 1
e
e
a
a
Z
aj
b
ab a
2
b a
3
b
a
a
a
2
a
3
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j
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b a
2
b ab b
a
3
a
2
a
e
Il y a un élément d'ordre un, e, deux éléments d'ordre quatre, a et a
3
, et les cinq autres
éléments sont d'ordre deux.
3) Pour lllls :
* Il e a a
2
a
3
lb
e
e
a
a
z
a;j
b
ab a
z
b a
;j
b
a
a
a
2
a
3
e
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2
b a
3
b b
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2
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a
3
b a
2
b ab b
a
e
a
3
a
2
Il y a, cette fois, un élément d'ordre un, e, un élément d'ordre deux seulement, a
2
, les six
autres sont d'ordre quatre. Ces considérations d'ordre prouvent que ID>8 et llll 8 ne sont pas
isomorphes.
4) Il suffit de vérifier que les éléments a et b donnés par ces matrices satisfont aux conditions
de chacune des définitions. On a ainsi une réalisation concrète de chacun des deux groupes.
Dès que le nombre d'éléments est un peu grand, la méthode d'étude qui consiste à écrire
la table du groupe est inopérante. Il vaut mieux, par exemple pour prouver ou infirmer
que deux groupes sont isomorphes, étudier l'ordre des éléments, ou l'architecture des
sous-groupes. Mais cela ne suffit pas toujours.
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Théorie des groupes
3) Donner une version « matricielle» d'un groupe dicyclique. On s'inspirera de l'exercice
1.1.21
4) Reconnaître les groupes dicycliques pour m = 1, m = 2, m = 3.
SOLUTIONS
2.3.1 1) Les trois groupes Z/8, Z/4 x Z/2, Z/2 x Z/2 x Z/2 sont des groupes à huit éléments ; ils ne sont pas isomorphes, il suffit pour s'en convaincre de considérer les éléments
d'ordre 2. Nous verrons dans le chapitre 4 qu'il n'y a pas d'autre groupe commutatif ayant
huit éléments.
2) La formule ba = a
3
b, ainsi que l'ordre de a et de b permet de calculer tous les produits
formés de puissances consécutives de a et de b. On voit alors que les éléments de [)) 8 et de
llll 8 sont e, a, a
2
, a
3
, b, ab, a
2
b, a
3
b. Et l'on obtient facilement les tables. Pour ID> 8
* Il e a a
2
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2
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Il y a un élément d'ordre un, e, deux éléments d'ordre quatre, a et a
3
, et les cinq autres
éléments sont d'ordre deux.
3) Pour lllls :
* Il e a a
2
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3
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2
Il y a, cette fois, un élément d'ordre un, e, un élément d'ordre deux seulement, a
2
, les six
autres sont d'ordre quatre. Ces considérations d'ordre prouvent que ID>8 et llll 8 ne sont pas
isomorphes.
4) Il suffit de vérifier que les éléments a et b donnés par ces matrices satisfont aux conditions
de chacune des définitions. On a ainsi une réalisation concrète de chacun des deux groupes.
Dès que le nombre d'éléments est un peu grand, la méthode d'étude qui consiste à écrire
la table du groupe est inopérante. Il vaut mieux, par exemple pour prouver ou infirmer
que deux groupes sont isomorphes, étudier l'ordre des éléments, ou l'architecture des
sous-groupes. Mais cela ne suffit pas toujours.
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