2 • Exemples de groupes
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Exercice 2.3.2
Dresser le graphe des sous-groupes de II)) g , ainsi que ceux de IHI 8 • Préciser ceux qui sont normaux dans le groupe. On vérifiera, en particulier, que les sous-groupes de IHis sont tous normaux dans IHig. Un tel groupe est appelé hamiltonien, du nom de l'inventeur des quaternions.
Les groupes finis hamiltoniens sont tous connus.
N.B. On démontrera (3.4. 1) qu'il n'y a pas d'autres groupes ayant huit éléments.
Exercice 2.3.3 (Une autre présentation de IHI 8 )
Soit !HI un IR-espace vectoriel de base (1 , i,j, k). On munit !HI d'une structure d'algèbre
I
par:
i
2
= J
2
= k
2
= -1, ij = -Ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j
On convient bien sûr d'identifier lR à la droite vectorielle engendrée par 1 qui, de plus, est
l'élément neutre. Montrer que l'opération ainsi définie est associative; on pourra faire toutes
les vérifications ou montrer qu'il y a isomorphisme avec l'ensemble des matrices:
Montrer que !HI est de plus un corps, non commutatif, contenant une infinité de corps isomorphes à CC. Montrer que IHis s'identifie à un sous-groupe multiplicatif de !HI. En déduire une
« version» matricielle (à coefficients dans CC, puis à coefficients dans IR) de IHis.
Exercice 2.3.4 (Les groupes quaternioniques IHI 2 .. )
On appelle groupe quaternionique d'ordre 2" le groupe défini par :
IHI 2 11 = ( a , b I a
2 11 -
1
= 1, bab - 1 = a1
, b
2
= a
2 11 - 2 )
Montrer que IHI 2 1 1 admet la présentation plus simple :
( 1 -1 - 1 2 2 1 1- 2 )
IHI 2 1 1 = a, b bah = a , b = a
puis démontrer que IHI 2 11 est de cardinal 2", et a pour modèle le groupe engendré par les
matrices:
A =
(t V' B
= ( � l �)
où t est une racine primitive 2
11 - 1
-ième de l'unité. Vérifier qu'il n'y a qu'un élément d'ordre
2 ; déterminer le centre, ainsi que le quotient par le centre.
Exercice 2.3.5 (Les groupes dicycliques)
On appelle dicyclique un groupe qui a la présentation :
G = ( a , b, c I a
2
= b
2
= c
"'
= abc)
1) Montrer que les groupes quaternioniques sont dicycliques. On commencera par montrer
que a
4
= 1.
2) Démontrer qu'un groupe dicyclique est d'ordre 4m, et donner l'ordre de ses éléments.
1. Une algèbre sur lR est un espace vectoriel muni d'une multiplication « compatible » avec la structure
d'espace vectoriel ; un exemple, l'algèbre des matrices carrées de dimension 11.
www.bibliomath.com
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Exercice 2.3.2
Dresser le graphe des sous-groupes de II)) g , ainsi que ceux de IHI 8 • Préciser ceux qui sont normaux dans le groupe. On vérifiera, en particulier, que les sous-groupes de IHis sont tous normaux dans IHig. Un tel groupe est appelé hamiltonien, du nom de l'inventeur des quaternions.
Les groupes finis hamiltoniens sont tous connus.
N.B. On démontrera (3.4. 1) qu'il n'y a pas d'autres groupes ayant huit éléments.
Exercice 2.3.3 (Une autre présentation de IHI 8 )
Soit !HI un IR-espace vectoriel de base (1 , i,j, k). On munit !HI d'une structure d'algèbre
I
par:
i
2
= J
2
= k
2
= -1, ij = -Ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j
On convient bien sûr d'identifier lR à la droite vectorielle engendrée par 1 qui, de plus, est
l'élément neutre. Montrer que l'opération ainsi définie est associative; on pourra faire toutes
les vérifications ou montrer qu'il y a isomorphisme avec l'ensemble des matrices:
Montrer que !HI est de plus un corps, non commutatif, contenant une infinité de corps isomorphes à CC. Montrer que IHis s'identifie à un sous-groupe multiplicatif de !HI. En déduire une
« version» matricielle (à coefficients dans CC, puis à coefficients dans IR) de IHis.
Exercice 2.3.4 (Les groupes quaternioniques IHI 2 .. )
On appelle groupe quaternionique d'ordre 2" le groupe défini par :
IHI 2 11 = ( a , b I a
2 11 -
1
= 1, bab - 1 = a1
, b
2
= a
2 11 - 2 )
Montrer que IHI 2 1 1 admet la présentation plus simple :
( 1 -1 - 1 2 2 1 1- 2 )
IHI 2 1 1 = a, b bah = a , b = a
puis démontrer que IHI 2 11 est de cardinal 2", et a pour modèle le groupe engendré par les
matrices:
A =
(t V' B
= ( � l �)
où t est une racine primitive 2
11 - 1
-ième de l'unité. Vérifier qu'il n'y a qu'un élément d'ordre
2 ; déterminer le centre, ainsi que le quotient par le centre.
Exercice 2.3.5 (Les groupes dicycliques)
On appelle dicyclique un groupe qui a la présentation :
G = ( a , b, c I a
2
= b
2
= c
"'
= abc)
1) Montrer que les groupes quaternioniques sont dicycliques. On commencera par montrer
que a
4
= 1.
2) Démontrer qu'un groupe dicyclique est d'ordre 4m, et donner l'ordre de ses éléments.
1. Une algèbre sur lR est un espace vectoriel muni d'une multiplication « compatible » avec la structure
d'espace vectoriel ; un exemple, l'algèbre des matrices carrées de dimension 11.
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