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2.2.15 Multiplions les deux relations entre elles
xlx = yx:y
2
En utilisant xy
2
= yx on en déduit :
yx
2
= yx
3
y
2
=> e = xy
2
= yx
Théorie des groupes
Donc x et y sont inverses l'un de l'autre et une des deux relations donne x = y = e. Il n'est
pas toujours facile de montrer qu'un groupe, dont on connaît la présentation, est réduit à
l'élément neutre. On peut montrer qu'il n'y a pas d'algorithme général pour ce faire.
2. 2.16 Posons a = xy et b = yxy . Alors a
3
= xyxyxy = (xyx)(yxy) = (yxy )
2
= b
2
• Réciproquement, on récupère x et y par y = ba1
et x = a
2
b- 1 • On vérifie alors xyx = b = yxy .
2.3 QUELQUES GROUPES FINIS
Nous avons déjà vu que
• Les groupes à 1, 2, 3, 5 et 7 éléments sont cycliques.
• Il y a deux groupes à quatre éléments, tous les deux commutatifs.
• Il y a un groupe à six éléments commutatif, et un non commutatif ( qui est le plus
petit groupe non commutatif).
Progressons dans notre étude en nous intéressant aux groupes ayant huit éléments.
Exercice 2.3.1
1) Décrire les groupes ayant huit éléments construits à l'aide des Z/n
2) Le groupe diédral ll))g est défini par :
ll))g = ( a , b I a
4
= b
2
= e, ba = a
3
b)
Vérifier qu'il correspond bien au groupe de l'exercice 2. 1. 9 Donner l'ordre de chacun des
ses éléments.
3) Montrer que le groupe 1Hl 8 , appelé groupe quaternionique défini par:
IH!s = (a, b I a
4
= e, b
2
= a
2
, ba = a
3
b)
admet huit éléments. Quels sont les ordres de ses éléments ?
4) Montrer que les groupes précédents sont isomorphes aux groupes engendrés par les matrices:
= (
0 -1 )
a
1
0
= (
0 -1 )
a
1
0
et b = ( � � )
et b= (� � )
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