2 • Exemples de groupes
39
2) Les éléments de G qui sont de la forme (xylx ou (yxly sont d'ordre deux, comme le
montre l'exemple suivant :
((xy)
3
x)
2
= (xyxyxy)x(xyxyxy)x = e
en utilisant x
2
= y
2
= e. On peut d'ailleurs faire le calcul général comme suit :
Il y a donc une infinité d'éléments d'ordre deux. Par ailleurs, xy et yx sont d'ordre infini,
et inverse l'un de l'autre.
3) D'où l'isomorphisme avec ][)) 00 :
{
(xyl 1--t (k, 0)
(yxl 1--t (-k,0)
(xyix 1--t (k, 1 )
(xyiy 1--t (-k, 1 )
qui est une bijection et dont on vérifie aisément que c'est un morphisme.
2.2.14 1)
(xyz)x = x
2
x = xx
2
= x(xyz)
de même, xyz commute avec les autres générateurs (et leurs inverses) et est donc dans le
centre de G. Étudions le quotient par le groupe engendré par xyz. Il a pour présentation :
(x, Y , z I x
2
= y
3
= z
3
= xyz = e) = (y, z I y
3
= z
3
= (yz)
2
= e)
Son nombre maximum d'éléments est 12. En effet, soit la liste :
1
2
2
2
2
22
2
, y, y , z, z , yz, y z, yz , zy, zy , z y, yz y
elle représente tous les mots contenant au plus deux occurences de y et z, puisque z
2
y
2
= yz
et y
2
z
2
= zy. Il reste à vérifier à la main qu'il n'y a pas d'autres éléments possibles, en
effectuant les produits de ces douze éléments par les générateurs
1
• Enfin, si a = (1, 2, 3)
et b = (2, 3, 4) sont des 3-cycles du groupe alterné Ai, on voit immédiatement qu'ils
vérifient les relations a
3
= b
3
= (ab)
2
= e. Comme Ai a douze éléments, on a obtenu
l'isomorphisme de G/ (xyz) avec Ai.
2) Montrons que Ga 24 éléments. Pour cela, il suffit de vérifier que xyz est d'ordre 2. Voici
un exemple de calcul qui le montre ; il utilise les relations y
2
= zyz et z
2
= yzy issues de la
présentation de G :
y
4
= (zyz)(zyz) = zlzlz = z
2
yz
3
yz
2
= z
2
y
5
z
2
= yzy
1
zy => y
2
= zy
7
z = zyz
On en déduit y = y
7
donc y
6
= e = (xyz)
2
. Comme (xyz) est d'indice 12, l'ordre de Gest
24.
1. Il existe des méthodes systématiques pour obtenir la liste ci-dessus, voir par exemple [18].
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