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Théorie des groupes
On peut caractériser ce sous-groupe (que l'on peut appeler clôture normale de 'R), comme
étant le sous-groupe engendré par les éléments de la forme grg1
où g est quelconque dans
G, et r E 'R.
2.2.9 Le groupe engendré par x est le groupe monogène infini; mais il n'est pas normal
dans L(x, y). La clôture normale est le groupe H engendré par les mots de la forme wxw1
•
On doit alors identifier le groupe L(x, y)/H. On peut vérifier que c'est le groupe libre L(y),
car H est le noyau du morphisme défini par(x) = 1, (y)= y. On a donc :
(x,y I x} = (y}
Bien sûr, dans ce cas particulier, la méthode « intuitive » fonctionne ; on remplace x par 1
dans les mots de L(x, y).
2.2.10 C'est le groupe cyclique d'ordre n. Le groupe normal H engendré par Jé
1
est formé
des J<
11 , et le quotient L(x)/H est isomorphe à Z/n.
2.2.1 1 On sait que :
L(X)/R '?:! G et L(X)/S '?:! H
où R et S sont les sous-groupes normaux engendrés par les relations net S. Puisque n c S,
on a R CS. Il suffit d'appliquer le théorème de factorisation, il existe un morphisme surjectif
de L(X) dans H, de noyau S. Ce morphisme se factorise donc en un morphisme surjectif de
G sur H. La deuxième partie de l'énoncé se traite de la même façon, il suffit de dire que
l'hypothèse faite sur H implique que les relations, définissant H comme quotient d'un groupe
libre, contiennent les relations n.
2.2.12 1) On définit un morphisme surjectif de G dans Z/6 en utilisant l'exercice précédent; x doit avoir pour image un élément d'ordre 2, y un élément d'ordre 3, et ces
images doivent commuter. On prendra par exemple x 1--t 3 et y 1--t 2, éléments qui engendrent bien Z/6. Reste à voir que les éléments de G sont au maximum 6; il y a en effet
e, x, y, y
2
, xy , xy
2
, les autres éléments se réduisant à l'un de ceux-là à l'aide des relations.
On a donc bien un isomorphisme entre G et Z/6.
2) Même démarche. Le groupe ][))2 11 vu dans l'exercice 2. 1.9 est engendré par les éléments
a= (1 , 0) et b = (0 , 1) qui sont respectivement d'ordre net 2. De plus, bab -
1
= (0 , l) *
(1 ,0) * (0 , 1) = (- 1, 1) * (0 , 1) = (- 1,0) = a1
• Donc les éléments a et b satisfont les
relations. Enfin, le cardinal de ][)) 211 est 2n, et dans le groupe (x , y I Jé
1
= y
2
, yxy = x- 1 }, les
éléments sont, au plus, ceux de la liste
2
• .11 -I
.2
• .11 - I
e, x, x , ... , .1. , y, xy, x-y, ... , .1. y
puisque la relation yx = x1
y permet de mettre les puissances de x en tête de n'importe
quel produit. Enfin pour le dernier groupe, on vérifie que x 1--t (1 , 0) et y 1--t (0 , 1) donnent
un morphisme surjectif et l'on termine en utilisant le nombre des éléments.
2.2.13 1) Comme x
2
= y
2
= 1, toute puissance de x se réduit à x, de même pour y. Tout
élément du groupe peut donc s'écrire comme une suite ... xyxy .... Si la suite commence par
x, elle sera de la forme (xyi ou (xyix suivant la façon dont elle se termine. De même pour
les suites commençant par y, et cette écriture est unique, avec k dans N, G est donc infini.
Pour k = 0, bien sûr, les deux premières formules donnent toutes deux e.
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Théorie des groupes
On peut caractériser ce sous-groupe (que l'on peut appeler clôture normale de 'R), comme
étant le sous-groupe engendré par les éléments de la forme grg1
où g est quelconque dans
G, et r E 'R.
2.2.9 Le groupe engendré par x est le groupe monogène infini; mais il n'est pas normal
dans L(x, y). La clôture normale est le groupe H engendré par les mots de la forme wxw1
•
On doit alors identifier le groupe L(x, y)/H. On peut vérifier que c'est le groupe libre L(y),
car H est le noyau du morphisme défini par
(x,y I x} = (y}
Bien sûr, dans ce cas particulier, la méthode « intuitive » fonctionne ; on remplace x par 1
dans les mots de L(x, y).
2.2.10 C'est le groupe cyclique d'ordre n. Le groupe normal H engendré par Jé
1
est formé
des J<
11 , et le quotient L(x)/H est isomorphe à Z/n.
2.2.1 1 On sait que :
L(X)/R '?:! G et L(X)/S '?:! H
où R et S sont les sous-groupes normaux engendrés par les relations net S. Puisque n c S,
on a R CS. Il suffit d'appliquer le théorème de factorisation, il existe un morphisme surjectif
de L(X) dans H, de noyau S. Ce morphisme se factorise donc en un morphisme surjectif de
G sur H. La deuxième partie de l'énoncé se traite de la même façon, il suffit de dire que
l'hypothèse faite sur H implique que les relations, définissant H comme quotient d'un groupe
libre, contiennent les relations n.
2.2.12 1) On définit un morphisme surjectif de G dans Z/6 en utilisant l'exercice précédent; x doit avoir pour image un élément d'ordre 2, y un élément d'ordre 3, et ces
images doivent commuter. On prendra par exemple x 1--t 3 et y 1--t 2, éléments qui engendrent bien Z/6. Reste à voir que les éléments de G sont au maximum 6; il y a en effet
e, x, y, y
2
, xy , xy
2
, les autres éléments se réduisant à l'un de ceux-là à l'aide des relations.
On a donc bien un isomorphisme entre G et Z/6.
2) Même démarche. Le groupe ][))2 11 vu dans l'exercice 2. 1.9 est engendré par les éléments
a= (1 , 0) et b = (0 , 1) qui sont respectivement d'ordre net 2. De plus, bab -
1
= (0 , l) *
(1 ,0) * (0 , 1) = (- 1, 1) * (0 , 1) = (- 1,0) = a1
• Donc les éléments a et b satisfont les
relations. Enfin, le cardinal de ][)) 211 est 2n, et dans le groupe (x , y I Jé
1
= y
2
, yxy = x- 1 }, les
éléments sont, au plus, ceux de la liste
2
• .11 -I
.2
• .11 - I
e, x, x , ... , .1. , y, xy, x-y, ... , .1. y
puisque la relation yx = x1
y permet de mettre les puissances de x en tête de n'importe
quel produit. Enfin pour le dernier groupe, on vérifie que x 1--t (1 , 0) et y 1--t (0 , 1) donnent
un morphisme surjectif et l'on termine en utilisant le nombre des éléments.
2.2.13 1) Comme x
2
= y
2
= 1, toute puissance de x se réduit à x, de même pour y. Tout
élément du groupe peut donc s'écrire comme une suite ... xyxy .... Si la suite commence par
x, elle sera de la forme (xyi ou (xyix suivant la façon dont elle se termine. De même pour
les suites commençant par y, et cette écriture est unique, avec k dans N, G est donc infini.
Pour k = 0, bien sûr, les deux premières formules donnent toutes deux e.
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