2 • Exemples de groupes
37
tout élément de G s'écrit comme produit de puissances d'éléments de X et de leurs inverses ;
il est donc l'image du mot correspondant de L(X). Le théorème d'isomorphisme assure donc
que G est un quotient de L(X). D'où l'importance des groupes libres, leurs quotients sont des
modèles de tous les groupes.
2. 2 .4 En convenant que le mot xx ... x avec n termes s'écrit x', et avec une convention analogue pour les exposants négatifs, L(x, y) est formé des mots de la forme x
1 1 y
111 1 x
12
y
112 ••• x'ky"k,
les exposants étant des entiers relatifs non nuls, sauf éventuellement le premier et le dernier.
On voit facilement qu'alors une telle écriture est unique, en procédant par récurrence sur
la longueur. Le groupe engendré par a 1 ,a 2 , ... ,a 1 est un sous-groupe de L(x, y ), qui est
isomorphe à un groupe libre engendré par l éléments. En effet, tout produit a�
1 ••• a' t/ s'écrit
sous la forme
)(' 1 y' I
)('
2 . • . I'"
et l'on peut reconstituer le produit, de façon unique, à partir de cette forme réduite, si k 1
est non nul, il est positif, et le produit commençe par ak 1
• On fait alors apparaître /
1 • Si k 1
est nul, p 1 est négatif et le produit commence par a;;;
1
. Tout repose sur le fait que les seules
simplifications possibles sont
x!'yl' y - q x- q = :>.-Pyl' -qx- q et y -Px-P� y q = y - p � -p
y q
Le groupe engendré par tous les ak est libre de base un ensemble dénombrable. Cela montre
à quel point un groupe libre est « grand ».
2.2.5 Il y a une relation entre les quatre générateurs :
x
2
( y x) - 1 y
2
= x y
et donc le groupe en question, noté H, n'est pas isomorphe à un groupe libre engendré par
quatre éléments. On constate que les éléments de H ont un nombre pair d'éléments dans leur
écriture réduite. La réciproque est également vraie, et l'on peut démontrer que H est librement
engendré par x
2
, x y , y
2
.
2.2.6 On dispose de 2k symboles, mais il ne faut pas que deux symboles consécutifs soient
formés de x et x- 1 • Pour f > 0 on trouve donc 2k(2k - 1)'!1
mots.
2.2. 7 Soit w un mot réduit de longueur f = f(w). Alors le carré de w est de longueur 2f - 2k,
où k est le nombre de simplifications qui peuvent avoir lieu. Ainsi, avec w = x y z y - 1
x1 ,
de longueur 5, le carré est de longueur 6. Il suffit de montrer que k < t�
v
) pour assurer
f(w
2 ) > f(w). Il y a une simplification si xe et x 1 sont inverses l'un de l'autre ... et k simplifications si X t - k+ I et x k sont inverses. Ainsi, lorsque f = 2n, il y an simplifications si x,,+ 1 et x,,
sont inverses ; c'est impossible car on part d'un mot réduit. On traite de même le cas impair.
On a donc f(w
2 ) > f(w), ce qui assure que w est d'ordre infini.
Supposons maintenant ww' = w'w. S'il n'y a aucune simplification dans chacun des produits,
on voit facilement que w et w' sont puissances d'un même mot ; tout dépend de la différence
des longueurs de w et w', en particulier, s'ils ont même longueur, w = w' . S'il y a une ou
plusieurs simplifications, il faut procéder par récurrence sur la somme des longueurs.
2.2.8 On utilise le fait que l'intersection de sous-groupes normaux dans G est un sousgroupe normal dans G. Ainsi, le sous-groupe normal engendré par n est l'intersection des
groupes normaux le contenant. Comme G est normal dans lui-même et contient n, cette
intersection est non vide et contient n.
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tout élément de G s'écrit comme produit de puissances d'éléments de X et de leurs inverses ;
il est donc l'image du mot correspondant de L(X). Le théorème d'isomorphisme assure donc
que G est un quotient de L(X). D'où l'importance des groupes libres, leurs quotients sont des
modèles de tous les groupes.
2. 2 .4 En convenant que le mot xx ... x avec n termes s'écrit x', et avec une convention analogue pour les exposants négatifs, L(x, y) est formé des mots de la forme x
1 1 y
111 1 x
12
y
112 ••• x'ky"k,
les exposants étant des entiers relatifs non nuls, sauf éventuellement le premier et le dernier.
On voit facilement qu'alors une telle écriture est unique, en procédant par récurrence sur
la longueur. Le groupe engendré par a 1 ,a 2 , ... ,a 1 est un sous-groupe de L(x, y ), qui est
isomorphe à un groupe libre engendré par l éléments. En effet, tout produit a�
1 ••• a' t/ s'écrit
sous la forme
)(' 1 y' I
)('
2 . • . I'"
et l'on peut reconstituer le produit, de façon unique, à partir de cette forme réduite, si k 1
est non nul, il est positif, et le produit commençe par ak 1
• On fait alors apparaître /
1 • Si k 1
est nul, p 1 est négatif et le produit commence par a;;;
1
. Tout repose sur le fait que les seules
simplifications possibles sont
x!'yl' y - q x- q = :>.-Pyl' -qx- q et y -Px-P� y q = y - p � -p
y q
Le groupe engendré par tous les ak est libre de base un ensemble dénombrable. Cela montre
à quel point un groupe libre est « grand ».
2.2.5 Il y a une relation entre les quatre générateurs :
x
2
( y x) - 1 y
2
= x y
et donc le groupe en question, noté H, n'est pas isomorphe à un groupe libre engendré par
quatre éléments. On constate que les éléments de H ont un nombre pair d'éléments dans leur
écriture réduite. La réciproque est également vraie, et l'on peut démontrer que H est librement
engendré par x
2
, x y , y
2
.
2.2.6 On dispose de 2k symboles, mais il ne faut pas que deux symboles consécutifs soient
formés de x et x- 1 • Pour f > 0 on trouve donc 2k(2k - 1)'!1
mots.
2.2. 7 Soit w un mot réduit de longueur f = f(w). Alors le carré de w est de longueur 2f - 2k,
où k est le nombre de simplifications qui peuvent avoir lieu. Ainsi, avec w = x y z y - 1
x1 ,
de longueur 5, le carré est de longueur 6. Il suffit de montrer que k < t�
v
) pour assurer
f(w
2 ) > f(w). Il y a une simplification si xe et x 1 sont inverses l'un de l'autre ... et k simplifications si X t - k+ I et x k sont inverses. Ainsi, lorsque f = 2n, il y an simplifications si x,,+ 1 et x,,
sont inverses ; c'est impossible car on part d'un mot réduit. On traite de même le cas impair.
On a donc f(w
2 ) > f(w), ce qui assure que w est d'ordre infini.
Supposons maintenant ww' = w'w. S'il n'y a aucune simplification dans chacun des produits,
on voit facilement que w et w' sont puissances d'un même mot ; tout dépend de la différence
des longueurs de w et w', en particulier, s'ils ont même longueur, w = w' . S'il y a une ou
plusieurs simplifications, il faut procéder par récurrence sur la somme des longueurs.
2.2.8 On utilise le fait que l'intersection de sous-groupes normaux dans G est un sousgroupe normal dans G. Ainsi, le sous-groupe normal engendré par n est l'intersection des
groupes normaux le contenant. Comme G est normal dans lui-même et contient n, cette
intersection est non vide et contient n.
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