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Th éorie des groupes
1) Montrer que G est infini et décrire ses éléments ; on montrera qu'il s'écrivent de façon
unique sous une des formes suivantes :
(xy)
k
, (y x /, (xy/x, (yx/x
2) Montrer que G contient une infinité d'éléments d'ordre 2.
3) Montrer que G est isomorphe au groupe diédral infini 2.1 .9.
Exercice 2.2.14
Soit G le groupe défini par la présentation
(x, y, z J x
2
= y
3
= z
3
= xyz)
1) Démontrer que xyz commute à tous les éléments de G, et identifier le quotient G / (xyz) .
2) Démontrer que G est d'ordre 24. Le groupe G s'appelle le groupe« binaire tétraédral ».
Pour une généralisation, voir le problème du dernier chapitre.
Exercice 2.2.15
Démontrer que le groupe G de présentation :
G = (x,y J xy = yx
2
, yx = xl )
est réduit à l'élément neutre.
Exercice 2.2.16
Soit B 3 le groupe défini par :
B 3 = (x,y J xyx = yxy)
C'est ce qu'on appelle un « groupe de tresses ». Montrer que ce groupe est isomorphe au
groupe de présentation (a, b J a
3
= b
2 ).
SOLUTIONS
2.2.1 C'est le plus« grand» groupe monogène, donc le groupe monogène infini, isomorphe
àZ.
2 2 2 L
,.
d
-1
-1 -1
b
(
-1 )
-1
('l
• .
mverse e w = a 1 a 2 ... ak est a k ... a 2 a 1 , en o servant que x
= x 1 est
bien réduit si w est réduit). L'élément neutre est le mot vide e. Reste à montrer l'associativité.
Cela peut se faire en examinant à la main tous les cas correspondant aux simplifications
possibles. L(X) contient, comme mots de longueur 1, tous les mots de la forme w = x ou
w =x1
où x EX, d'où l'injection de X dans L(X).
2.2.3 Convenons que si x E X, on pose f(x1 ) = f(x)- 1 ; alors si w = a 1 a 2 ... ak, il suffit
de définir f(w) = f(a 1 )f(a 2 ) .. .f(ak), On vérifie que] est un morphisme de groupe de façon
récursive.
Supposons maintenant que G est engendré par X, et que f est l'injection de X dans G. On
définit le morphisme de L(X) dans G, comme-ci dessus, et ce morphisme est surjectif, car
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Th éorie des groupes
1) Montrer que G est infini et décrire ses éléments ; on montrera qu'il s'écrivent de façon
unique sous une des formes suivantes :
(xy)
k
, (y x /, (xy/x, (yx/x
2) Montrer que G contient une infinité d'éléments d'ordre 2.
3) Montrer que G est isomorphe au groupe diédral infini 2.1 .9.
Exercice 2.2.14
Soit G le groupe défini par la présentation
(x, y, z J x
2
= y
3
= z
3
= xyz)
1) Démontrer que xyz commute à tous les éléments de G, et identifier le quotient G / (xyz) .
2) Démontrer que G est d'ordre 24. Le groupe G s'appelle le groupe« binaire tétraédral ».
Pour une généralisation, voir le problème du dernier chapitre.
Exercice 2.2.15
Démontrer que le groupe G de présentation :
G = (x,y J xy = yx
2
, yx = xl )
est réduit à l'élément neutre.
Exercice 2.2.16
Soit B 3 le groupe défini par :
B 3 = (x,y J xyx = yxy)
C'est ce qu'on appelle un « groupe de tresses ». Montrer que ce groupe est isomorphe au
groupe de présentation (a, b J a
3
= b
2 ).
SOLUTIONS
2.2.1 C'est le plus« grand» groupe monogène, donc le groupe monogène infini, isomorphe
àZ.
2 2 2 L
,.
d
-1
-1 -1
b
(
-1 )
-1
('l
• .
mverse e w = a 1 a 2 ... ak est a k ... a 2 a 1 , en o servant que x
= x 1 est
bien réduit si w est réduit). L'élément neutre est le mot vide e. Reste à montrer l'associativité.
Cela peut se faire en examinant à la main tous les cas correspondant aux simplifications
possibles. L(X) contient, comme mots de longueur 1, tous les mots de la forme w = x ou
w =x1
où x EX, d'où l'injection de X dans L(X).
2.2.3 Convenons que si x E X, on pose f(x1 ) = f(x)- 1 ; alors si w = a 1 a 2 ... ak, il suffit
de définir f(w) = f(a 1 )f(a 2 ) .. .f(ak), On vérifie que] est un morphisme de groupe de façon
récursive.
Supposons maintenant que G est engendré par X, et que f est l'injection de X dans G. On
définit le morphisme de L(X) dans G, comme-ci dessus, et ce morphisme est surjectif, car
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