2 • Exemples de groupes
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Exercice 2.2.8
Montrer qu'il existe bien un plus petit sous-groupe normal de G qui contient l'ensemble des
mots de n, ce qui justifie l'expression « sous-groupe normal» engendré par n.
Exercice 2.2.9
Reconnaître le groupe G = (x, y I x) .
Lorsque n contient un mot comme xy1 , on écrira x = y à la place. Cela s'explique
car dans l'ensemble quotient tous les éléments de n ont pour image l'élément neutre, et
xy1
= e équivaut àx = y.On fait, bien sûr, l'abus de notation de confondre un mot avec
sa classe.
Exercice 2.2.10
Reconnaître (x I x' = e) .
Tout groupe peut ainsi être défini par « générateurs et relations». Il n'est pas toujours facile pour autant de reconnaître un groupe à partir d'une présentation. Voici une démarche
possible.
Exercice 2.2.11 (Théorème de Von Dyck)
Soit G = (Xl'R) et H = (XIS). On suppose que n c S. Démontrer qu'on peut définir un
morphisme surjectif de G sur H laissant fixes les éléments de X et dont le noyau est le sousgroupe normal engendré par les images dans G de S \ n.
Si maintenant H est un groupe engendré par Y en bijection avec X, et tel que toute relation de
n ait pour image une relation satisfaite dans H, alors la bijection s'étend en un morphisme
surjectif de G sur H.
Exercice 2.2.12
On désire démontrer que le groupe G de présentation (x,y I x
2
= y
3
= e, xy = yx) est
le groupe cyclique Z/6. Montrer qu'il existe un morphisme de G sur Z/6. En utilisant les
cardinaux, montrer que c'est un isomorphisme. Reconnaître également les groupes diédraux
dans la présentation :
(x,y I x' = y
2
= e, yxy = x1 )
et le groupe de Klein dans :
Exercice 2.2.13
Soit G le groupe défini par :
G = (x,y J x
2
= y
2
= 1)
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