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Théorie des groupes
Exercice 2.2.2
Vérifier que c'est bien un groupe, montrer que X s'injecte dans L(X) et que L(X) est engendré
par l'image de X (que l'on confondra avec X).
Voyons maintenant pourquoi le groupe obtenu est bien le« plus grand» engendré par X.
Exercice 2.2.3
Soit G un groupe et/ une application de X dans G. Montrer qu'il existe un seul morphisme
J de L(X) dans G qui prolonge f. En déduire que tout groupe engendré par X est un quotient
de L(X).
f
X------ G
"'? /��
; �
/ f
L(X)
Certaines propriétés des groupes libres sont aisées à obtenir; par exemple qu'un groupe
libre est caractérisé par la propriété décrite dans l'exercice précédent; de même, on vérifie que deux ensembles X et Y en bijection conduisent à des groupes libres isomorphes.
Néanmoins, la structure d'un groupe libre, même engendré par un petit nombre d'éléments, est assez riche.
Exercice 2.2.4
Décrire les éléments de L(x, y). Montrer que L(x, y) contient des sous-groupes isomorphes à
L(X) où X est n'importe quel ensemble fini ou dénombrable. On pourra utiliser les mots a,,
définis par a,, = x'y', pour n entier naturel.
Exercice 2.2.5
Soit encore le groupe libre L(x, y). Montrer que le groupe H engendré par x
2
, y
2
, xy, yx n'est
pas librement engendré par ces éléments. Comment caractériser les éléments de H ?
Exercice 2.2.6
Combien y a t-il de mots réduits de longueur e si X contient k éléments?
Exercice 2.2.7
Montrer que tout élément (autre que e) d'un groupe libre est d'ordre infini. Vérifier également
que si deux éléments d'un groupe libre commutent, ils sont puissances d'un même élément.
Vo yons maintenant comment on définit un groupe « par générateurs et relations ». Si
G = L(X) est un groupe libre et n un ensemble de mots réduits, on appelle H le sousgroupe normal engendré par n, et l'on note (Xl'R) Je groupe quotient G/H. On dit également que (Xl'R) est une présentation de ce groupe quotient.
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Exercice 2.2.2
Vérifier que c'est bien un groupe, montrer que X s'injecte dans L(X) et que L(X) est engendré
par l'image de X (que l'on confondra avec X).
Voyons maintenant pourquoi le groupe obtenu est bien le« plus grand» engendré par X.
Exercice 2.2.3
Soit G un groupe et/ une application de X dans G. Montrer qu'il existe un seul morphisme
J de L(X) dans G qui prolonge f. En déduire que tout groupe engendré par X est un quotient
de L(X).
f
X------ G
"'? /��
; �
/ f
L(X)
Certaines propriétés des groupes libres sont aisées à obtenir; par exemple qu'un groupe
libre est caractérisé par la propriété décrite dans l'exercice précédent; de même, on vérifie que deux ensembles X et Y en bijection conduisent à des groupes libres isomorphes.
Néanmoins, la structure d'un groupe libre, même engendré par un petit nombre d'éléments, est assez riche.
Exercice 2.2.4
Décrire les éléments de L(x, y). Montrer que L(x, y) contient des sous-groupes isomorphes à
L(X) où X est n'importe quel ensemble fini ou dénombrable. On pourra utiliser les mots a,,
définis par a,, = x'y', pour n entier naturel.
Exercice 2.2.5
Soit encore le groupe libre L(x, y). Montrer que le groupe H engendré par x
2
, y
2
, xy, yx n'est
pas librement engendré par ces éléments. Comment caractériser les éléments de H ?
Exercice 2.2.6
Combien y a t-il de mots réduits de longueur e si X contient k éléments?
Exercice 2.2.7
Montrer que tout élément (autre que e) d'un groupe libre est d'ordre infini. Vérifier également
que si deux éléments d'un groupe libre commutent, ils sont puissances d'un même élément.
Vo yons maintenant comment on définit un groupe « par générateurs et relations ». Si
G = L(X) est un groupe libre et n un ensemble de mots réduits, on appelle H le sousgroupe normal engendré par n, et l'on note (Xl'R) Je groupe quotient G/H. On dit également que (Xl'R) est une présentation de ce groupe quotient.
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