2 • Exemples de groupes
33
2.1 .12 Le produit de deux éléments de H est encore dans H: appelons support de h l'ensemble des indices pour lesquels h; =/ e;. Deux éléments de H ont un support fini, et leur
produit a un support inclus dans la réunion des supports, ce support est donc fini. On voit
également que g h g - 1 a un support inclus dans celui de h, H est donc normal dans le groupe
produit G.
Lesj; sont des morphismes injectifs :j;(ab) est une famille (xk )kEI où tous les xk sont neutres
sauf x; = ab. Par définition de la loi produit, j;( ab ) = j;(a)j;(b). On vérifie également l'injectivité. Les images des G; sont des sous-groupes de H, et H est engendré par ces images. Cette
somme directe de groupe est très proche de la somme directe de sous-espaces vectoriels que
l'on rencontre en algèbre linéaire.
2.1.13 Si h EH, on pose/(h) = IL EI Ji(h;). Cette définition a un sens car ce produit est en
réalité fini, seul un nombre fini des h; étant différent du neutre.
2.2 GROUPES LIBRES, GROUPES DÉFINIS PAR GÉNÉRATEURS
ET RELATIONS
Soit X un ensemble non vide. Première définition, informelle, du groupe libre engendré
par X: c'est le« plus grand groupe» engendré par X. On le note L(X).
Exercice 2.2.1
Lorsque X = { x}, quel est L(X) ?
Dans le cas général, on définit L(X) de la façon suivante :
• On note x1
un ensemble en bijection avec X, et disjoint de X. L'image de x EX est
notée x1
•
• C(X) est l'ensemble des suites finies d'éléments de X U x1
, auquel on ajoute la
suite vide, notée e. Ces suites sont appelées mots, et le nombre de symboles qui
constituent un mot z s'appelle sa longueur, notée l(z).
• On dit qu'un mot est réduit s'il ne contient aucune sous-suite formée de deux termes
consécutifs de la forme xx1
ou x1
x, et l'on note L(X) l'ensemble des mots réduits.
• Soit alors l'opération * définie par:
et
si w = a,a2 ... ak , w' = b1b2 ... b,, alors w * w' = a,a2 ... akb 1 b2 ... b,
lorsque akbt n'est pas de la forme xx1
ou x1
x. Sinon, on applique l'opération à
a,a2 ... ak-t et b2 ... b 1 (avec cas particulier quand l'un est vide).
L(X) s'appelle le groupe libre engendré par X.
www.bibliomath.com
33
2.1 .12 Le produit de deux éléments de H est encore dans H: appelons support de h l'ensemble des indices pour lesquels h; =/ e;. Deux éléments de H ont un support fini, et leur
produit a un support inclus dans la réunion des supports, ce support est donc fini. On voit
également que g h g - 1 a un support inclus dans celui de h, H est donc normal dans le groupe
produit G.
Lesj; sont des morphismes injectifs :j;(ab) est une famille (xk )kEI où tous les xk sont neutres
sauf x; = ab. Par définition de la loi produit, j;( ab ) = j;(a)j;(b). On vérifie également l'injectivité. Les images des G; sont des sous-groupes de H, et H est engendré par ces images. Cette
somme directe de groupe est très proche de la somme directe de sous-espaces vectoriels que
l'on rencontre en algèbre linéaire.
2.1.13 Si h EH, on pose/(h) = IL EI Ji(h;). Cette définition a un sens car ce produit est en
réalité fini, seul un nombre fini des h; étant différent du neutre.
2.2 GROUPES LIBRES, GROUPES DÉFINIS PAR GÉNÉRATEURS
ET RELATIONS
Soit X un ensemble non vide. Première définition, informelle, du groupe libre engendré
par X: c'est le« plus grand groupe» engendré par X. On le note L(X).
Exercice 2.2.1
Lorsque X = { x}, quel est L(X) ?
Dans le cas général, on définit L(X) de la façon suivante :
• On note x1
un ensemble en bijection avec X, et disjoint de X. L'image de x EX est
notée x1
•
• C(X) est l'ensemble des suites finies d'éléments de X U x1
, auquel on ajoute la
suite vide, notée e. Ces suites sont appelées mots, et le nombre de symboles qui
constituent un mot z s'appelle sa longueur, notée l(z).
• On dit qu'un mot est réduit s'il ne contient aucune sous-suite formée de deux termes
consécutifs de la forme xx1
ou x1
x, et l'on note L(X) l'ensemble des mots réduits.
• Soit alors l'opération * définie par:
et
si w = a,a2 ... ak , w' = b1b2 ... b,, alors w * w' = a,a2 ... akb 1 b2 ... b,
lorsque akbt n'est pas de la forme xx1
ou x1
x. Sinon, on applique l'opération à
a,a2 ... ak-t et b2 ... b 1 (avec cas particulier quand l'un est vide).
L(X) s'appelle le groupe libre engendré par X.
www.bibliomath.com