32
2.1 .9
( (a, b) *(a', b')) (a", b")
(a,b) * ((a',b') * (a",b"))
Théorie des groupes
= (a + (- l la',b+b')*(a",b")
= (a + (- lla' + (-tl
+ b' a", b + b' + b ")
= (a, b) *(a' + (- If a",b' +b")
= (a + (- l l(a' + (- l f a"),b+b' +b")
Il y a bien égalité. On a utilisé le fait que lorsque b E Z/2, (- l l est défini sans ambiguïté,
et que les règles de calcul habituelles sur les exposants restent valides. On trouve facilement
que le neutre est (0, 0), et que :
(a, T) -
1
= (a, Î) et (a, 0)1
= (-a, 0)
On voit après ce calcul que tous les éléments de la forme (a, Î) sont d'ordre 2, ainsi que les
couples (a, 0) pour a vérifiant 2a = O. Cela fait donc un élément supplémentaire lorsque n est
pair.
Les mêmes calculs montrent que G' est un groupe dont les éléments d'ordre 2 sont les couples
(a, Î).
2.1 .10 (h 1 , hD(h2 , h�)- 1 = (h 1 , hD(h2
1
, h; -
1
) = (h 1 h2
1
. h� h; - 1 ) EH X H'
prouve que le produit de sous-groupes est un sous-groupe. Pour la deuxième propriété, on
considère 1 ' application définie par :
(a, b) = (aH, bH')
où a E G, b E G'. C'est un morphisme ( car chaque « composante » est un morphisme), et le
noyau est formé de H x H'. L' application est surjective de G x G' sur G /H x G' /H', et
l'on applique le théorème d'isomorphisme.
2.1 .1 1 Nous noterons a la classe de a modulo 4.
1) Le seul groupe à un élément est {(O, 0)}, il est rectangle.
2) Les groupes à deux éléments sont engendrés par des éléments d'ordre 2. On trouve les
groupes :
((2, 0)) , ((0, 2)) , ((2, 2))
Les deux premiers sont rectangles, mais pas le troisième.
3) Les groupes à quatre éléments sont de deux types ; ceux qui sont cycliques sont engendrés
par les éléments d'ordre 4. Il y en a six :
((1, 0)) , ((0, 1)), ((1, 2)) , ((2, 1)), ((1, 3)), ((1, 1))
Les deux premiers sont rectangles. Le dernier s' appelle le sous-groupe diagonal. On trouve
également un autre sous-groupe à quatre éléments, formés du neutre et de tous les éléments
d'ordre 2:
Il est rectangle.
4) Il y a deux groupes à huit éléments qui sont rectangles, ((2, 0), (0, 1)) et ((1, 0), (0, 2)). On
peut ajouter ((1, 1), (2, 0)) formé de tous les couples ayant même parité.
5) Le seul sous-groupe à seize éléments est Z/4 x Z/4. On compte ainsi quinze sous-groupes.
Vo ir également le premier problème, à la fin de ce chapitre.
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2.1 .9
( (a, b) *(a', b')) (a", b")
(a,b) * ((a',b') * (a",b"))
Théorie des groupes
= (a + (- l la',b+b')*(a",b")
= (a + (- lla' + (-tl
+ b' a", b + b' + b ")
= (a, b) *(a' + (- If a",b' +b")
= (a + (- l l(a' + (- l f a"),b+b' +b")
Il y a bien égalité. On a utilisé le fait que lorsque b E Z/2, (- l l est défini sans ambiguïté,
et que les règles de calcul habituelles sur les exposants restent valides. On trouve facilement
que le neutre est (0, 0), et que :
(a, T) -
1
= (a, Î) et (a, 0)1
= (-a, 0)
On voit après ce calcul que tous les éléments de la forme (a, Î) sont d'ordre 2, ainsi que les
couples (a, 0) pour a vérifiant 2a = O. Cela fait donc un élément supplémentaire lorsque n est
pair.
Les mêmes calculs montrent que G' est un groupe dont les éléments d'ordre 2 sont les couples
(a, Î).
2.1 .10 (h 1 , hD(h2 , h�)- 1 = (h 1 , hD(h2
1
, h; -
1
) = (h 1 h2
1
. h� h; - 1 ) EH X H'
prouve que le produit de sous-groupes est un sous-groupe. Pour la deuxième propriété, on
considère 1 ' application définie par :
(a, b) = (aH, bH')
où a E G, b E G'. C'est un morphisme ( car chaque « composante » est un morphisme), et le
noyau est formé de H x H'. L' application est surjective de G x G' sur G /H x G' /H', et
l'on applique le théorème d'isomorphisme.
2.1 .1 1 Nous noterons a la classe de a modulo 4.
1) Le seul groupe à un élément est {(O, 0)}, il est rectangle.
2) Les groupes à deux éléments sont engendrés par des éléments d'ordre 2. On trouve les
groupes :
((2, 0)) , ((0, 2)) , ((2, 2))
Les deux premiers sont rectangles, mais pas le troisième.
3) Les groupes à quatre éléments sont de deux types ; ceux qui sont cycliques sont engendrés
par les éléments d'ordre 4. Il y en a six :
((1, 0)) , ((0, 1)), ((1, 2)) , ((2, 1)), ((1, 3)), ((1, 1))
Les deux premiers sont rectangles. Le dernier s' appelle le sous-groupe diagonal. On trouve
également un autre sous-groupe à quatre éléments, formés du neutre et de tous les éléments
d'ordre 2:
Il est rectangle.
4) Il y a deux groupes à huit éléments qui sont rectangles, ((2, 0), (0, 1)) et ((1, 0), (0, 2)). On
peut ajouter ((1, 1), (2, 0)) formé de tous les couples ayant même parité.
5) Le seul sous-groupe à seize éléments est Z/4 x Z/4. On compte ainsi quinze sous-groupes.
Vo ir également le premier problème, à la fin de ce chapitre.
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