2 • Exemples de groupes
31
G;, on en déduit que tous les éléments de G peuvent s'écrire 8 = 8 1 8 2 ... 8 11 , en regroupant
les élements provenant de chaque groupe. Enfin, si :
où 8; E G;, on peut écrire 8,
1
8� comme élément du groupe engendré par les G;, pour
i -:/ 1, on a donc 8 i = 8� et ainsi de suite. C'est ici qu'on a besoin de l'hypothèse, et non
de simples intersections deux à deux.
On peut alors définir une application de Il ; = 1 . ., , G; dans G par :
(8 1 ' 8 2 , ... ' 8 11 ) = 8 1 8 2 ... 8 11
C'est un morphisme, grâce à la première propriété démontrée, il est surjectif par hypothèse,
et injectif, par l'unicité vue ci-dessus.
2) Par rapport au cas précédent, il suffit de montrer que 8i8 j = 8i 8i · Pour cela, cherchons
l'intersection de G; avec G j . Soit x un élément de cette intersection, et écrivons
x = ee . .. 8; ... e = e . .. 8 j ... e
où 8; et 8 j sont à leur place. L'unicité prouve que G; n G j = { e }, et l'on conclut comme
ci-dessus.
2.1.7 Montrons que G est alors un Z/p-espace vectoriel, et notons additivement l'opération
dans G. C'est un groupe commutatif. Pour définir la multiplication par un scalaire, posons
pour commencer k.8 = 8 + 8 + · · · + 8 où il yak exemplaires de 8 · Pour tout 8 d'ordre p, le
résultat ne dépend pas de la classe modulo p. On peut poser k.8 = k.8 où k est la classe modulo
p de k. Cette définition convient également lorsque 8 est nul. Pour terminer, remarquons que
si G est fini, il est de dimension finie et donc isomorphe à (Z/p)", en tant qu'espace vectoriel
et donc en tant que groupe.
2.1.8 Soit G l'ensemble défini dans l'énoncé. L'opération * est interne. On peut montrer
« à la main» qu'elle définit bien une structure de groupe commutatif sur G, mais il est plus
économique de trouver directement l'isomorphisme avec Z. Posons :
(a, b) = 2b - a
avec a= 0 ou a= 1. C'est bien une bijection, les éléments de la forme (0, b) sont envoyés sur
les nombres pairs, ceux de la forme (Î, b) sont envoyés sur les impairs. Montrons que c'est
un morphisme :
cf>((a, b) +(a' , b')) = (a + a' , b + b') = 2b + 2b' - a - a' = (a, b) + cf>(a' , b')
si a et a' ne sont pas tous les deux égaux à 1.
cf>((Î, b) + (Î, b')) = (0, b + b' - 1) = 2b + 2b' - 2 = cf>(Î, b) +(Î, b')
dans le dernier cas. C'est donc un isomorphisme de groupe ; toutes les propriétés de groupe
sont vérifiées par« transport». Cet exercice montre qu'il faut prendre garde qu'un ensemble,
qui est un produit cartésien de groupes, n'est pas toujours muni de la structure produit ; ici,
notre groupe G n'est pas isomorphe au groupe produit Z/2 x Z.
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G;, on en déduit que tous les éléments de G peuvent s'écrire 8 = 8 1 8 2 ... 8 11 , en regroupant
les élements provenant de chaque groupe. Enfin, si :
où 8; E G;, on peut écrire 8,
1
8� comme élément du groupe engendré par les G;, pour
i -:/ 1, on a donc 8 i = 8� et ainsi de suite. C'est ici qu'on a besoin de l'hypothèse, et non
de simples intersections deux à deux.
On peut alors définir une application de Il ; = 1 . ., , G; dans G par :
(8 1 ' 8 2 , ... ' 8 11 ) = 8 1 8 2 ... 8 11
C'est un morphisme, grâce à la première propriété démontrée, il est surjectif par hypothèse,
et injectif, par l'unicité vue ci-dessus.
2) Par rapport au cas précédent, il suffit de montrer que 8i8 j = 8i 8i · Pour cela, cherchons
l'intersection de G; avec G j . Soit x un élément de cette intersection, et écrivons
x = ee . .. 8; ... e = e . .. 8 j ... e
où 8; et 8 j sont à leur place. L'unicité prouve que G; n G j = { e }, et l'on conclut comme
ci-dessus.
2.1.7 Montrons que G est alors un Z/p-espace vectoriel, et notons additivement l'opération
dans G. C'est un groupe commutatif. Pour définir la multiplication par un scalaire, posons
pour commencer k.8 = 8 + 8 + · · · + 8 où il yak exemplaires de 8 · Pour tout 8 d'ordre p, le
résultat ne dépend pas de la classe modulo p. On peut poser k.8 = k.8 où k est la classe modulo
p de k. Cette définition convient également lorsque 8 est nul. Pour terminer, remarquons que
si G est fini, il est de dimension finie et donc isomorphe à (Z/p)", en tant qu'espace vectoriel
et donc en tant que groupe.
2.1.8 Soit G l'ensemble défini dans l'énoncé. L'opération * est interne. On peut montrer
« à la main» qu'elle définit bien une structure de groupe commutatif sur G, mais il est plus
économique de trouver directement l'isomorphisme avec Z. Posons :
(a, b) = 2b - a
avec a= 0 ou a= 1. C'est bien une bijection, les éléments de la forme (0, b) sont envoyés sur
les nombres pairs, ceux de la forme (Î, b) sont envoyés sur les impairs. Montrons que c'est
un morphisme :
cf>((a, b) +(a' , b')) = (a + a' , b + b') = 2b + 2b' - a - a' = (a, b) + cf>(a' , b')
si a et a' ne sont pas tous les deux égaux à 1.
cf>((Î, b) + (Î, b')) = (0, b + b' - 1) = 2b + 2b' - 2 = cf>(Î, b) +
dans le dernier cas. C'est donc un isomorphisme de groupe ; toutes les propriétés de groupe
sont vérifiées par« transport». Cet exercice montre qu'il faut prendre garde qu'un ensemble,
qui est un produit cartésien de groupes, n'est pas toujours muni de la structure produit ; ici,
notre groupe G n'est pas isomorphe au groupe produit Z/2 x Z.
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