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Théorie des groupes
produit (cela se démontre facilement en appliquant le théorème de Gauss). On obtient la surjectivité par l'étude des cardinaux. Un complément : il est possible de prouver la surjectivité
directement ; les n; étant premiers entre eux deux à deux, posons n = n 1 n 2 ... n k . Alors les
m; = � sont premiers entre eux dans leur ensemble, ce qui implique qu'il existe des entiers
u; tels que :
Mais alors
k
L u;m; = l
i= I
u;m; = 1 mod n; pour tout i, u;m; = 0 mod n i pour i =/ j
et si l'on pose x = E� 1 x;u;m; alors on aura :
ViE {l, .. . ,k}, X = X; mod n;
On a obtenu l'application réciproque demandée, et résolu des congruences simultanées par
rapport à des entiers premiers entre eux deux à deux.
2.1.5 a) et b) Le plus rapide est d'observer que K, est le noyau de la deuxième projection,
p 2 : (k, h) i--+ h, c'est donc un sous-groupe normal du produit. Quant à l'isomorphisme de
K, avec K, c'est la restriction à K, de la première projection.
c) Le seul élément commun est bien (e, e).
d) (h, k) =· (h, e)(e, k), donc G = Kri. On a également G = riK, et, par ailleurs, tout élément
de K, commute avec tout élément de ri; ce qui n'implique pas que G soit commutatif.
Démontrons une réciproque, que l'on peut appeler reconnaissance des produits directs internes.
Si ri <1 G, K,
hkh1
k1
= (hkh1
)k1
= h(kh- ) k1
)
En utilisant le fait que K, et ri sont normaux dans G, on voit que cet élément est à la fois dans
K, et dans ri, c'est donc e, et hk = kh. Maintenant définissons par :
: Kxri --t G
(k, h) 1--+ kh
On a:
((k, h)(k' h' )) = (kk' ' hh' ) = kk' hh' = khk' h' = ((k, h))((k' ' h' ))
et est un morphisme. Il est bijectif car tout élément de G s'écrit sous la forme kh, c'est dans
l'hypothèse, et le noyau est réduit au neutre car kh = e prouve que k est l'inverse de h et est
donc à la fois dans K, et dans ri, c'est e.
2.1.6 1) Tout repose sur la propriété que g;gi = gi g; dès que ces deux éléments sont dans des
groupes G; et G i distincts. La démonstration est la même que pour l'exercice précédent.
g;gig" ï
1
g i - J est à la fois dans G; et G j , et vaut donc e. Du fait que G est engendré par les
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Théorie des groupes
produit (cela se démontre facilement en appliquant le théorème de Gauss). On obtient la surjectivité par l'étude des cardinaux. Un complément : il est possible de prouver la surjectivité
directement ; les n; étant premiers entre eux deux à deux, posons n = n 1 n 2 ... n k . Alors les
m; = � sont premiers entre eux dans leur ensemble, ce qui implique qu'il existe des entiers
u; tels que :
Mais alors
k
L u;m; = l
i= I
u;m; = 1 mod n; pour tout i, u;m; = 0 mod n i pour i =/ j
et si l'on pose x = E� 1 x;u;m; alors on aura :
ViE {l, .. . ,k}, X = X; mod n;
On a obtenu l'application réciproque demandée, et résolu des congruences simultanées par
rapport à des entiers premiers entre eux deux à deux.
2.1.5 a) et b) Le plus rapide est d'observer que K, est le noyau de la deuxième projection,
p 2 : (k, h) i--+ h, c'est donc un sous-groupe normal du produit. Quant à l'isomorphisme de
K, avec K, c'est la restriction à K, de la première projection.
c) Le seul élément commun est bien (e, e).
d) (h, k) =· (h, e)(e, k), donc G = Kri. On a également G = riK, et, par ailleurs, tout élément
de K, commute avec tout élément de ri; ce qui n'implique pas que G soit commutatif.
Démontrons une réciproque, que l'on peut appeler reconnaissance des produits directs internes.
Si ri <1 G, K,
hkh1
k1
= (hkh1
)k1
= h(kh- ) k1
)
En utilisant le fait que K, et ri sont normaux dans G, on voit que cet élément est à la fois dans
K, et dans ri, c'est donc e, et hk = kh. Maintenant définissons par :
(k, h) 1--+ kh
On a:
et est un morphisme. Il est bijectif car tout élément de G s'écrit sous la forme kh, c'est dans
l'hypothèse, et le noyau est réduit au neutre car kh = e prouve que k est l'inverse de h et est
donc à la fois dans K, et dans ri, c'est e.
2.1.6 1) Tout repose sur la propriété que g;gi = gi g; dès que ces deux éléments sont dans des
groupes G; et G i distincts. La démonstration est la même que pour l'exercice précédent.
g;gig" ï
1
g i - J est à la fois dans G; et G j , et vaut donc e. Du fait que G est engendré par les
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