2 • Exemples de groupes
29
La projection P l est un morphisme :
p , ((a, b)(a', b')) = p , (aa', bb') = aa' = p 1 (a, b)p 1 (a', b')
et l'on peut remarquer que c'est un morphisme surjectif, tout élément a de K est l'image de
(a, 1), par exemple.
Pour définir le produit d'une famille quelconque de groupes, (G;); EI , il suffit de prendre :
(g;); EI (g; hI = (g;g;); EI
Les projections p; sont définies par p;(g) = g; où g = (g;); EI , et le produit est noté Ti iEI G;.
Remarque : l'ensemble des applications d'un ensemble X non vide dans un groupe est
muni d'une structure de groupe par cette méthode. Cet ensemble n'est autre, en effet,
que le produit d'une famille indexée par les éléments de X de groupes égaux à G. On
le note G
x
. Nous avons déjà rencontré (Z/2l\ groupe des suites à valeurs dans Z/2,
comme exemple de groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre fini.
2.1.2 Posonsf(g) = (Ji (g), fi(g)). On vérifie immédiatement que c'est un morphisme et que
p I of = !1 , de même P2 of = !2 . D'une certaine façon, f est le « produit » de !1 et de fi, et il est
unique, sa définition ne peut être j ifférente. On vérifie facilement que G = K x H est le seul
groupe ayant cette propriété. S !._ Ga la même propriété, on a alors deux projections 1r 1 et 1r 2
et il exi � e un morphisme! de G dans G tel que p; of = 1r;(i = 1, 2), et d'un morphisme g de
G dans G tel que 1r; o g = p;(i = 1, 2). Ainsi, p; of o g = p; pour i = 1, 2. Mais l'identité vérifie
aussi cette égalité, et l'unicité anoncée ci-dessus donne f o g = id; de même en échangeant
les rôles, etf est un isomorphisme.
2.1.3 (g, h )(g' , h ') = (gg' , hh ') = (g' g, h ' h ) = (g' , h ')(g, h )
De plus, le produit n'est commutatif que si les deux facteurs sont commutatifs, car le produit
G x H contient comme sous-groupes G x { 1} et { 1} x H. En revanche, le produit de deux
groupes cycliques n'est pas toujours cyclique. Ainsi, Z x Z ne l'est pas car il contient un
sous-groupe propre d'indice infini (Z x {O} ). Z x Z/n ne l'est pas pour la même raison, avec
le même exemple. Enfin, si m /\ n = d (i.e. le pgcd de n et m est d) alors les sous-groupes
engendrés par (�, 0) et (0, 1!}) sont deux sous-groupes de même cardinal d de Z/n x Z/m,
qui sont distincts quand d est différent de 1 ; cela est contradictoire avec le fait qu'un groupe
cyclique fini n'a qu'un seul sous-groupe de cardinal donné.
Reste à examiner le cas où m /\ n = 1. Alors, le produit est cyclique ; en effet, considérons le
morphisme :
: Z - Z/n x Z/m
a - (a mod n, a mod m)
c'est un morphisme« produit» des projections canoniques. Son noyau est formé des entiers
multiples communs de m et de n, ce sont donc les multiples de mn puisque m et n sont
premiers entre eux. On en déduit, par le premier théorème d'isomorphisme, un morphisme
injectif de Z/mn dans Z/n x Z/m. Ce morphisme est surjectif car les deux ensembles ont
même cardinal.
2.1.4 On utilise le même « truc » que dans l'exercice précédent. Si est le morphisme
qui, à l'entier a, associe (a mod n;);=l . .k, alors son noyau est formé des entiers qui sont multiples communs des n; . Comme les n; sont premiers entre eux deux à deux, leur ppcm est leur
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La projection P l est un morphisme :
p , ((a, b)(a', b')) = p , (aa', bb') = aa' = p 1 (a, b)p 1 (a', b')
et l'on peut remarquer que c'est un morphisme surjectif, tout élément a de K est l'image de
(a, 1), par exemple.
Pour définir le produit d'une famille quelconque de groupes, (G;); EI , il suffit de prendre :
(g;); EI (g; hI = (g;g;); EI
Les projections p; sont définies par p;(g) = g; où g = (g;); EI , et le produit est noté Ti iEI G;.
Remarque : l'ensemble des applications d'un ensemble X non vide dans un groupe est
muni d'une structure de groupe par cette méthode. Cet ensemble n'est autre, en effet,
que le produit d'une famille indexée par les éléments de X de groupes égaux à G. On
le note G
x
. Nous avons déjà rencontré (Z/2l\ groupe des suites à valeurs dans Z/2,
comme exemple de groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre fini.
2.1.2 Posonsf(g) = (Ji (g), fi(g)). On vérifie immédiatement que c'est un morphisme et que
p I of = !1 , de même P2 of = !2 . D'une certaine façon, f est le « produit » de !1 et de fi, et il est
unique, sa définition ne peut être j ifférente. On vérifie facilement que G = K x H est le seul
groupe ayant cette propriété. S !._ Ga la même propriété, on a alors deux projections 1r 1 et 1r 2
et il exi � e un morphisme! de G dans G tel que p; of = 1r;(i = 1, 2), et d'un morphisme g de
G dans G tel que 1r; o g = p;(i = 1, 2). Ainsi, p; of o g = p; pour i = 1, 2. Mais l'identité vérifie
aussi cette égalité, et l'unicité anoncée ci-dessus donne f o g = id; de même en échangeant
les rôles, etf est un isomorphisme.
2.1.3 (g, h )(g' , h ') = (gg' , hh ') = (g' g, h ' h ) = (g' , h ')(g, h )
De plus, le produit n'est commutatif que si les deux facteurs sont commutatifs, car le produit
G x H contient comme sous-groupes G x { 1} et { 1} x H. En revanche, le produit de deux
groupes cycliques n'est pas toujours cyclique. Ainsi, Z x Z ne l'est pas car il contient un
sous-groupe propre d'indice infini (Z x {O} ). Z x Z/n ne l'est pas pour la même raison, avec
le même exemple. Enfin, si m /\ n = d (i.e. le pgcd de n et m est d) alors les sous-groupes
engendrés par (�, 0) et (0, 1!}) sont deux sous-groupes de même cardinal d de Z/n x Z/m,
qui sont distincts quand d est différent de 1 ; cela est contradictoire avec le fait qu'un groupe
cyclique fini n'a qu'un seul sous-groupe de cardinal donné.
Reste à examiner le cas où m /\ n = 1. Alors, le produit est cyclique ; en effet, considérons le
morphisme :
: Z - Z/n x Z/m
a - (a mod n, a mod m)
c'est un morphisme« produit» des projections canoniques. Son noyau est formé des entiers
multiples communs de m et de n, ce sont donc les multiples de mn puisque m et n sont
premiers entre eux. On en déduit, par le premier théorème d'isomorphisme, un morphisme
injectif de Z/mn dans Z/n x Z/m. Ce morphisme est surjectif car les deux ensembles ont
même cardinal.
2.1.4 On utilise le même « truc » que dans l'exercice précédent. Si est le morphisme
qui, à l'entier a, associe (a mod n;);=l . .k, alors son noyau est formé des entiers qui sont multiples communs des n; . Comme les n; sont premiers entre eux deux à deux, leur ppcm est leur
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