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Exercice 2.1 .10
Démontrer que :
puis que :
Théorie des groupes
H ::;; G et H' :,;; G' => H x H' :,;; G x G'
H H x H' On a donc vu que le produit de sous-groupes est un sous-groupe du produit ; de tels sousgroupes sont appelés « sous-groupes rectangles ». Mais il y peut y avoir d'autres sousgroupes du produit qui ne sont pas de cette forme. L'essentiel sera vu dans un problème,
contentons-nous d'un exemple.
Exercice 2.1.1 1
Chercher tous les sous-groupes de Z/4 x Z/4, en précisant ceux qui sont« rectangles».
Pour terminer, voici une autre construction d'un groupe à partir d'une famille de groupes,
la somme directe de groupes.
1
Exercice 2.1.12
Soit (G;); E I une famille de groupes et soit H le sous-ensemble du produit formé des (x;h x
avec x; = e; (élément neutre) sauf pour un nombre fini d'indices. Vérifier que H est un sousgroupe du produit IL
EI
G;. On le note parfois EiEI G; et l'on l'appelle somme directe des
groupes G;. Que dire si I est fini ? On définit les applications j; par :
j; : G; --t H
a f-+
X = (xk)kEI
où x k = ek, élément neutre, pour tous les indices différents de i, et où x; = a. Montrer que ce
sont des morphismes injectifs.
Exercice 2.1.13
On considère un groupe G' commutatif et une famille de morphismes (f;);EI de chacun des
G; tous commutatifs dans G'. Si H est la somme directe définie dans l'exercice précédent,
montrer qu'il existe un unique morphisme f de H dans G' tel que f o j; = f; pour tous les
indices i.
SOLUTIONS
2.1.1 Les vérifications sont faciles. L'associativité par exemple résulte de :
(a, b)((a', b')(a", b")) = (a, b)(a'a", b'b") = (a(a'a"), b(b'b"))
= ((aa')a", (bb')b") = ((a, b)(a', b'))(a", b")
l . L'expression somme n'est pas heureuse. On parle parfois de « produit restreint ».
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