2 • Exemples de groupes
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Exercice 2.1.6
Soit (G; );= 1. . 11 une famille de sous-groupes normaux de G, telle que:
G= ( LJ G; )
i= l..11
Démontrer que G est isomorphe au produit des G; ssi l'une des conditions suivantes est
réalisée:
1) G; n (U u ; Gi ) = {e } pour tout i.
2) Tout élément g de G s'écrit de façon unique comme produit g = g 1 g 2 ••• g,. où g; E G;.
Exercice 2.1.7
Soit G un groupe commutatif fini dont tous les éléments différents du neutre sont d'ordre
p (premier). Montrer que G est isomorphe au produit Z/p x Z/p x ... x Z/p. Ce produit
s'appelle p-groupe élémentaire.
Voici maintenant deux exemples de groupes définis à partir d'un produit cartésien, mais
avec une opération différente.
Exercice 2.1.8
Soit G l'ensemble défini par G = Z/2 x Z. On définit dans G une opération* par:
(a, b) * (a',b') = (0, b+b' -1) sia=a'=Î
= (a + a', b + b') sinon.
Vérifier, qu'avec cette opération, G est bien un groupe commutatif, puis démontrer qu'il est
isomorphe à (Z, + ).
Exercice 2.1.9
Soit G l'ensemble défini par :
G = Z/n x Z/2
avec la loi suivante :
(a, b) *(a', b') = (a + (- 1/a', b + b')
avec la convention que ( -1 i sera 1 si b = 0 et -1 si b = î.
Montrer que c'est bien un groupe. Quels sont les éléments d'ordre 2?
Reprendre l'étude avec l'ensemble :
G' =Z x Z/2
la loi étant définie par la même règle. Ces groupes s'appellent groupes diédraux, et sont
notés respectivement ][)) 21 , et ][)) 00 • On les retrouvera dans la section suivante.
Après ces deux exemples, on conviendra que la notation G x H représentera le produit
de deux groupes muni de sa structure de produit direct. On choisira une autre notation
lorsque la loi sera définie autrement. Passsons maintenant à une autre question : que
peut-on dire des sous-groupes d'un groupe produit?
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Exercice 2.1.6
Soit (G; );= 1. . 11 une famille de sous-groupes normaux de G, telle que:
G= ( LJ G; )
i= l..11
Démontrer que G est isomorphe au produit des G; ssi l'une des conditions suivantes est
réalisée:
1) G; n (U u ; Gi ) = {e } pour tout i.
2) Tout élément g de G s'écrit de façon unique comme produit g = g 1 g 2 ••• g,. où g; E G;.
Exercice 2.1.7
Soit G un groupe commutatif fini dont tous les éléments différents du neutre sont d'ordre
p (premier). Montrer que G est isomorphe au produit Z/p x Z/p x ... x Z/p. Ce produit
s'appelle p-groupe élémentaire.
Voici maintenant deux exemples de groupes définis à partir d'un produit cartésien, mais
avec une opération différente.
Exercice 2.1.8
Soit G l'ensemble défini par G = Z/2 x Z. On définit dans G une opération* par:
(a, b) * (a',b') = (0, b+b' -1) sia=a'=Î
= (a + a', b + b') sinon.
Vérifier, qu'avec cette opération, G est bien un groupe commutatif, puis démontrer qu'il est
isomorphe à (Z, + ).
Exercice 2.1.9
Soit G l'ensemble défini par :
G = Z/n x Z/2
avec la loi suivante :
(a, b) *(a', b') = (a + (- 1/a', b + b')
avec la convention que ( -1 i sera 1 si b = 0 et -1 si b = î.
Montrer que c'est bien un groupe. Quels sont les éléments d'ordre 2?
Reprendre l'étude avec l'ensemble :
G' =Z x Z/2
la loi étant définie par la même règle. Ces groupes s'appellent groupes diédraux, et sont
notés respectivement ][)) 21 , et ][)) 00 • On les retrouvera dans la section suivante.
Après ces deux exemples, on conviendra que la notation G x H représentera le produit
de deux groupes muni de sa structure de produit direct. On choisira une autre notation
lorsque la loi sera définie autrement. Passsons maintenant à une autre question : que
peut-on dire des sous-groupes d'un groupe produit?
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