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K
G'
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H
Théorie des groupes
Généraliser cette propriété à un produit quelconque de groupes. Elle est « universelle » en ce
sens qu'elle caractérise le produit de groupes (à isomorphisme près). Le démontrer.
Exercice 2.1.3
Montrer que le produit de deux groupes commutatifs est commutatif. Est-ce que le produit
de deux groupes cycliques est cyclique ?
Exercice 2.1.4 (Théorème des restes chinois)
Démontrer que
Z/n, x Z/n2 ... x Z/n k 91 Z/n 1 n2 . .. n k
lorsque les entiers n; sont premiers entre eux deux à deux. Préciser l'isomorphisme et son
application réciproque.
Comme le théorème chinois le montre, un groupe donné peut être isomorphe à un produit.
On dit alors qu'il est décomposable. C'est donc le cas des groupes Z/n quand n n'est
pas premier et de (IR*, x) et (C*, x) puisqu'ils sont isomorphes respectivement à IR! x
{ -1, 1} et IR! x UJ. La bijection, dans le second cas, est celle qui, à un complexe z,
associe le couple (z, e
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) où 0 est un argument. Tout groupe décomposable en produit de
deux groupes contient des sous-groupes isomorphes à ces groupes. Examinons de plus
près cette situation.
Exercice 2.1.5
Soit G = K x H, muni de la structure produit. On pose lC = K x { e}, 1i = { e} x H.
Montrer que
a) lC (resp. ri) est un sous-groupe de G, isomorphe à K (resp. à H).
b) lC et 1i sont normaux dans G.
c) lC n 1i = (e, e), élément neutre de G.
d) G = IC?t.
Énoncer une réciproque.
Regardons maintenant une généralisation de l'exercice précédent.
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