Chapitre 2
Exemples de groupes
2.1 GROUPES PRODUITS
Dans le chapitre 1, nous avons rencontré le groupe des entiers modulo n, noté Z/nZ ou
Z/n, ainsi que quelques autres groupes finis ou infinis. Pour enrichir notre panoplie, nous
allons commencer par définir ce qu'on appelle les« groupes produits».
On définit le produit de deux groupes K et H par
KxH={(k, h) l kEK, hEH}
C'est donc le« produit cartésien» des deux ensembles. On le munit de la loi :
(k, h)(k', h' ) = (kk', hh' )
Il est facile de vérifier que cette loi est bien une loi de groupe.
Exercice 2.1.1
Faire cette vérification. On note P t (resp. p 2 ) l'application de K x H dans K (resp. dans
H) définie par : Pt (k, h) = k (resp. p2(k, h) = h). Démontrer que ces applications, appelées
projections, sont des morphismes de groupe. Comment définir le produit de n groupes, d'une
famille de groupes ? Préciser alors les projections.
Exercice 2.1.2 (Propriété universelle du produit)
Soit G = K x H et G' un groupe quelconque. Alors, si l'on se donne deux morphismes
f t : G' - K eth : G' - H, il existe un seul morphisme/ : G' - G tel que :
P t O f = f t , P2 ° f = h
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