IV
Théorie des groupes
Quelques remarques sur les notations. Le groupe diédral est très présent dans les exercices,
car suffisamment simple et compliqué pour être exemplaire. Ayant 2n éléments, avec n entier,
il est parfois noté ID>,,, car il est groupe de symétrie du polygone régulier à n éléments, et
contient le groupe cyclique à n éléments ... Nous avons choisi de le noter ID> 211 , l'indice étant
alors le cardinal ; cela nous paraît en effet plus conforme aux habitudes récentes. De la même
façon, nous notons Z/n le groupe additif quotient de 'Il, par le sous-groupe des multiples
de n; c'est un compromis entre la notation Z/n'll, un peu longue, et Z,, qui peut prêter à
confusion (avec nombres p-adiques). Plus important, et discutable, nous faisons souvent jouer
au groupe noté 'Il,/ n le rôle du prototype d'un groupe cyclique d'ordre n. Or, ce n'en est qu'une
réalisation particulière, additive, avec un générateur privilégié (la classe de 1 ), de même que le
groupe des racines n-ièmes de l'unité en représente une autre réalisation. Il aurait sans doute
été préférable d'avoir une notation différente pour« le» groupe cyclique d'ordre n, compris
comme le groupe engendré par un élément x d'ordre n, de présentation (x I x'). On trouve
parfois une écriture comme C,,. Notre choix risque de dérouter, surtout qu'il nous arrive de
jongler entre notation additive et multiplicative, mais ce type d'écriture « à isomorphisme
près» est fréquent... et a des avantages. On nous pardonnera aussi, peut-être, certains « ssi »
mis pour« si et seulement si».
Pour terminer, parlons de notre public, enfin du public souhaité : les connaissances nécessaires pour nous suivre sont celles qu'a acquises un étudiant de Deug. Il lui est demandé une
certaine familiarité avec l'algèbre linéaire, et avec les rudiments de l'algèbre générale. Ce
livre devrait donc être utile aux étudiants de licence et de maîtrise, ainsi, bien sûr, qu'aux candidats aux concours Capes et Agrégation. Espérons également qu'il saura plaire aux simples
amateurs de mathématiques.
Ce livre ne serait pas ce qu'il est sans les conseils éclairés que m'ont donnés de nombreux
collègues et amis, spécialistes ou non de la théorie des groupes. Je remercie en particulier
Dong Ye pour sa relecture attentive, mais il va de soi que les nombreuses erreurs qui subsistent
sont entièrement de mon fait. Merci également aux éditions Dunod pour la qualité de leur
travail éditorial.
Cette seconde édition a permis de corriger certaines erreurs et d'ajouter des précisions : merci
à François Digne pour ses remarques. Nous avons également proposé quelques problèmes
supplémentaires.
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
Quelques remarques sur les notations. Le groupe diédral est très présent dans les exercices,
car suffisamment simple et compliqué pour être exemplaire. Ayant 2n éléments, avec n entier,
il est parfois noté ID>,,, car il est groupe de symétrie du polygone régulier à n éléments, et
contient le groupe cyclique à n éléments ... Nous avons choisi de le noter ID> 211 , l'indice étant
alors le cardinal ; cela nous paraît en effet plus conforme aux habitudes récentes. De la même
façon, nous notons Z/n le groupe additif quotient de 'Il, par le sous-groupe des multiples
de n; c'est un compromis entre la notation Z/n'll, un peu longue, et Z,, qui peut prêter à
confusion (avec nombres p-adiques). Plus important, et discutable, nous faisons souvent jouer
au groupe noté 'Il,/ n le rôle du prototype d'un groupe cyclique d'ordre n. Or, ce n'en est qu'une
réalisation particulière, additive, avec un générateur privilégié (la classe de 1 ), de même que le
groupe des racines n-ièmes de l'unité en représente une autre réalisation. Il aurait sans doute
été préférable d'avoir une notation différente pour« le» groupe cyclique d'ordre n, compris
comme le groupe engendré par un élément x d'ordre n, de présentation (x I x'). On trouve
parfois une écriture comme C,,. Notre choix risque de dérouter, surtout qu'il nous arrive de
jongler entre notation additive et multiplicative, mais ce type d'écriture « à isomorphisme
près» est fréquent... et a des avantages. On nous pardonnera aussi, peut-être, certains « ssi »
mis pour« si et seulement si».
Pour terminer, parlons de notre public, enfin du public souhaité : les connaissances nécessaires pour nous suivre sont celles qu'a acquises un étudiant de Deug. Il lui est demandé une
certaine familiarité avec l'algèbre linéaire, et avec les rudiments de l'algèbre générale. Ce
livre devrait donc être utile aux étudiants de licence et de maîtrise, ainsi, bien sûr, qu'aux candidats aux concours Capes et Agrégation. Espérons également qu'il saura plaire aux simples
amateurs de mathématiques.
Ce livre ne serait pas ce qu'il est sans les conseils éclairés que m'ont donnés de nombreux
collègues et amis, spécialistes ou non de la théorie des groupes. Je remercie en particulier
Dong Ye pour sa relecture attentive, mais il va de soi que les nombreuses erreurs qui subsistent
sont entièrement de mon fait. Merci également aux éditions Dunod pour la qualité de leur
travail éditorial.
Cette seconde édition a permis de corriger certaines erreurs et d'ajouter des précisions : merci
à François Digne pour ses remarques. Nous avons également proposé quelques problèmes
supplémentaires.
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