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Théorie des groupes
1.3.2 Le groupe modulaire M
Soit t = toute matrice A = ( : �) d'entiers relatifs vérifiant ad - be = 1, on associe l'homographie
f = cp(A), de t dans lui-même définie par :
f(z) =
az + c
bz + d
pour z n'annulant pas le dénominateur. On pose de plus:
a
f(oo) = b '
d
!(- -;; ) = oo si b n'est pas nul; f(oo) = oo si b = 0
1) Vérifier que l'on a bien défini ainsi une bijection, et que l'ensemble de ces bijections
constitue un groupe. Ce groupe s'appelle le groupe modulaire et est noté M. Il a une
grande importance en arithmétique, dans la théorie des fonctions elliptiques ...
2) On note G = SL(2, Z) le groupe des matrices 2 x 2 à coefficients dans Z et de déterminant
1. Vérifier que l'application cl> de G dans M définie ci-dessus est bien un morphisme de
groupe. En chercher le noyau et déduire :
M '2:! SL(2, Z)/{/, -1}
Le groupe M est aussi noté PSL(2, Z).
3) Notre objectif est de montrer que M est engendré par les bijections t : z f--+ z + 1 et s : z f--+
-t. Vérifier que ce sont des éléments de M. On notera T = ( � ! ) et S = ( � �
1 )
des représentants de ces éléments de M dans SL(2, Z). Déterminer l'ordre de S. Étudier
le groupe engendré par Tet montrer qu'il est isomorphe à Z.
4) Soit A une matrice 2 x 2. Montrer que T
k
A se déduit de A par la règle suivante: la ligne
2 est inchangée, la ligne 1 est remplacée par elle-même plus k fois la ligne 2. Montrer que
. SA se déduit de A par la règle, les lignes 1 et 2 sont échangées, puis la ligne 1 est multipliée
par -1. Examiner ce qui se passe pour AT
k
et AS.
5) En utilisant l'algorithme d'Euclide, montrer que l'on peut multiplier à gauche une matrice
A à coefficients dans Z par un produit de puissances de T et de puissances de S de sorte
que la matrice obtenue soit triangulaire supérieure.
6) Montrer qu'une matrice de SL(2, Z) triangulaire supérieure est de la forme T
k
ou s2T
k
où
kE Z.
7) En déduire que SL(2, Z) est engendré par Set T, puis que M est engendré par s et t.
8) Effectuer l'algorithme décrit dans les deux dernières questions pour prouver que:
On a montré que M est engendré par deux éléments, l'un s étant d'ordre 2, l'autre t d'ordre
infini. On va montrer qu'il est engendré aussi par deux éléments d'ordre fini.
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