1 • Groupes - Groupes cycliques
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On définit l'homographie u par u(z) =
1
�
z
et l'on note U la matrice ( � l
! ) qui représente u. Vérifier que u
3
= e et que M est engendré par u et s. Écrire l'homographie a
de matrice A, en fonction de s et de u.
9) Montrer que tout élément m de M peut s'écrire:
m = i1 ,J1i2 ...
ik ,}k
( * )
où les it sont égaux à 1 sauf i 1 qui peut être nul, les j e sont égaux à 1 ou 2, saufj k qui peut
aussi être nul. On va montrer que cette écriture est unique.
10) On pose x = su et y = su
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• Vérifier que ce sont les classes des matrices X et Y données
par:
X = G �
1
) '
y = ( �1 �)
Montrer que l'ensemble M des matrices de la forme x a1 y
b i .• . x
ak
y
bk
où les exposants
sont des entiers naturels dont un au moins est strictement positif, ne contient que des
matrices dont les termes diagonaux sont supérieurs à 1, les autres étant négatifs, l'un au
moins strictement. En déduire qu'une écriture de la forme ( * ) ne peut donner l'identité que
si k = 1 et i 1 = ji = O. Conclure, en montrant que l'écriture ( * ) est unique.
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