1 • Groupes - Groupes cyc liques
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1) Démontrer que :
HcKCG=}HCG
Cette propriété, nous l'avons vu, n'est pas vraie pour la relation de« normalité».
2) Démontrer que :
HcK 3) Si G est un groupe, on appelle centre de G l'ensemble des éléments de G qui commutent
avec tous les éléments de G. On le note Z(G) et l'on peut écrire :
Z(G) = {z E Gj'v'x E G, xz = zx}
Bien sûr le centre contient toujours e et est égal à G ssi G est commutatif. D'une certaine
façon, la taille du centre mesure le degré de commutativité de G.
Démontrer que le centre d'un groupe est toujours un sous-groupe caractéristique. Est-ce
encore le cas des sous-groupes du centre ?
4) On note G' ou D(G) le sous-groupe engendré par les commutateurs, c'est-à-dire les éléments de la forme xy x -
1
y1
• Démontrer que c'est un sous-groupe caractéristique de G.
Ce sous-groupe, appelé groupe dérivé, sera étudié plus longuement dans le chapitre 4.
Il mesure également le degré de commutativité de G, et est réduit au neutre quand G est
commutatif.
5) On note G" le sous-groupe de G engendré par les éléments de la forme x' où x E G
1
•
Démontrer que pour tout n ce sous-groupe est caractéristique.
6) Une notion encore plus forte est celle de sous-groupe pleinement invariant de G. Ce
sont les groupes qui sont invariants par tous les morphismes de G dans G (appelés parfois
endomorphismes). Démontrer que les groupes G' et G" sont pleinement invariants. On
peut montrer que le centre d'un groupe n'est pas toujours pleinement invariant.
7) Quelle relation y a t-il entre le centre de G et le centre d'un de ses sous-groupes ?
8) Montrer que le centre de GL(n, OC), groupe des matrices inversibles à coefficient dans
le corps OC, est le groupe des matrices scalaires, c'est-à-dire de la forme 'li./ où À est un
scalaire non nul. On pourra utiliser les matrices de la forme T ii = I + E ii où I est la matrice
identité et E ii est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf le coefficient d'indices
i,j qui est égal à 1.
Chercher le centre de T(2, OC), groupe des matrices triangulaires supérieures et de
TU(2, OC), groupe des matrices triangulaires unipotentes. Généraliser à une dimension
quelconque.
9) Soit l'application qui à x E G associe i x automorphisme intérieur. Montrer que c'est un
morphisme de groupe. Déterminer son noyau. En déduire :
G/Z(G) '=:! lnt(G)
1 . Cette notation est ambiguë. Dans un autre contexte, elle représente le produit cartésien de n exemplaires
de G.
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