20
Théorie des groupes
1 .2.19 Il suffit de trouver une injection de l'ensemble quotient G/H n K dans un ensemble
fini. Soit en effet :
f: g (H n K) 1-+ (g H, gK)
dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble fini G/H x G/K. L'application est bien définie, car
si g' = gh, où h E H n K, alors gH = g'K et gK = g'K. Elle est injective, car si gH = g'H et
gK = g'K, on a g' = gh = gk où h E H et k E K, ce qui donne h = k E H n K.
Pour que l'inégalité soit stricte, il suffit de prendre H = K, deux sous-groupes non triviaux de
G. Pour un cas d'égalité, prendre, par exemple, G = Z, H = 2Z et K = 3Z.
1.2.20 l)
HxK = LJ hxK = LJH .xk
lrEH
kEK
prouve qu'une double classe est réunion de classes à gauche et de classes à droite. Pour
montrer que les doubles classes partitionnent G, il suffit de vérifier que la relation :
x'Ry {=:::} H.xK = HyK {=:::} 3h E H, 3k E K, y = hxk
est une relation d'équivalence, ce qui est immédiat.
2) On voit d'abord que l'application hxk 1-+ hxkx1
est une bijection (translation à droite) de
la double classe HxK vers l'ensemble HxKx1
• Or, cet ensemble est de la forme HK' où
K' est un sous-groupe de G, image de K par un automorphisme intérieur. On en déduit :
I
Hx KI =
IHI IK' I
=
IHI IKI
IH n K'I IH n K'I
car K et K' sont isomorphes et ont même cardinal. Comme K' dépend de x, les doubles
classes ont en général des cardinaux différents, à cause du cardinal du dénominateur.
3) Si l'un des deux groupes, par exemple K, est normal dans G, les doubles classes sont de
même cardinal car, dans ce cas, K' = K. Mais en fait, la notion de double classe est très
simplifiée ... puisqu'alors HxK = HKx et que HK est un sous-groupe dès que K
classes sont donc H et xH où x (f. H. Mais il y a également seulement deux classes à droites,
qui sont donc H et Hx. La classe à gauche de x et la classe à droite sont donc toutes les deux
le complémentaire de H et coïncident. H est donc normal dans G.
1.3 PROBLÈMES
1.3.1 Sous-groupes caractéristiques, centre
Rappelons qu'une caractérisation possible d'un sous- groupe normal (ou distingué) dans G
est qu'il est stable par tout automorphisme intérieur. On dit qu'un sous-groupe H est caractéristique dans G s'il est stable par tout automorphisme de G. On note H c G pour dire
que H est caractéristique dans G, et, bien sûr, un sous-groupe caractéristique dans G est aussi
normal dans G.
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
1 .2.19 Il suffit de trouver une injection de l'ensemble quotient G/H n K dans un ensemble
fini. Soit en effet :
f: g (H n K) 1-+ (g H, gK)
dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble fini G/H x G/K. L'application est bien définie, car
si g' = gh, où h E H n K, alors gH = g'K et gK = g'K. Elle est injective, car si gH = g'H et
gK = g'K, on a g' = gh = gk où h E H et k E K, ce qui donne h = k E H n K.
Pour que l'inégalité soit stricte, il suffit de prendre H = K, deux sous-groupes non triviaux de
G. Pour un cas d'égalité, prendre, par exemple, G = Z, H = 2Z et K = 3Z.
1.2.20 l)
HxK = LJ hxK = LJH .xk
lrEH
kEK
prouve qu'une double classe est réunion de classes à gauche et de classes à droite. Pour
montrer que les doubles classes partitionnent G, il suffit de vérifier que la relation :
x'Ry {=:::} H.xK = HyK {=:::} 3h E H, 3k E K, y = hxk
est une relation d'équivalence, ce qui est immédiat.
2) On voit d'abord que l'application hxk 1-+ hxkx1
est une bijection (translation à droite) de
la double classe HxK vers l'ensemble HxKx1
• Or, cet ensemble est de la forme HK' où
K' est un sous-groupe de G, image de K par un automorphisme intérieur. On en déduit :
I
Hx KI =
IHI IK' I
=
IHI IKI
IH n K'I IH n K'I
car K et K' sont isomorphes et ont même cardinal. Comme K' dépend de x, les doubles
classes ont en général des cardinaux différents, à cause du cardinal du dénominateur.
3) Si l'un des deux groupes, par exemple K, est normal dans G, les doubles classes sont de
même cardinal car, dans ce cas, K' = K. Mais en fait, la notion de double classe est très
simplifiée ... puisqu'alors HxK = HKx et que HK est un sous-groupe dès que K
classes sont donc H et xH où x (f. H. Mais il y a également seulement deux classes à droites,
qui sont donc H et Hx. La classe à gauche de x et la classe à droite sont donc toutes les deux
le complémentaire de H et coïncident. H est donc normal dans G.
1.3 PROBLÈMES
1.3.1 Sous-groupes caractéristiques, centre
Rappelons qu'une caractérisation possible d'un sous- groupe normal (ou distingué) dans G
est qu'il est stable par tout automorphisme intérieur. On dit qu'un sous-groupe H est caractéristique dans G s'il est stable par tout automorphisme de G. On note H c G pour dire
que H est caractéristique dans G, et, bien sûr, un sous-groupe caractéristique dans G est aussi
normal dans G.
www.bibliomath.com