1 • Groupes - Groupes cycliques
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1.2.1 5 Il suffit d'appliquer le théorème de factorisation au cas où H = Ker/ et de restreindre
l'ensemble d'arrivée. On symbolise ce théorème par le schéma suivant, où i est l'inclusion de
Imf dans H.
f
G --- G'
p
! - îi
G/ Kerf �Imf
1 .2.16 Le sous-groupe engendré par H et K doit contenir l'ensemble HK. Pour que ce soit
un groupe, d'après l'exercice 1.1.23, il suffit de vérifier que, lorsque H Or,
HK = LJ Hk = LJ kH =KH
kEK
kEK
1.2.17 H et K sont deux sous-groupes de G. On suppose que K que le groupe engendré par H et K est alors HK puisque K est normal dans G. De plus,
K est normal dans HK, car il est normal dans le groupe plus grand G ; considérons alors la
restriction à H de la projection de G sur HK/K :
<1>: H ---+ HK/K
h 1--+ hK
Alors est surjective, car hkK = hK = (h). Son noyau est défini par :
Ker = { h E H/ hK = K} = { h E H/ h E K} = H n K
Le premier théorème d'isomorphisme donne alors :
H/H n K '?if HK/K
1.2.18 Soit p la projection de G sur G/H. Comme K :,;; H = Kerp, le théorème de
factorisation montre qu'il existe un morphisme p défini par :
p: G/K ---+ G/H
gK 1--+ gH
De plus, ce morphisme est surjectif, car p est surjectif. Enfin,
Ker{p} = {gKI gH = H} = {gKI g E H} = H/K
D'où, en ·appliquant le premier théorème d'isomorphisme,
(G/K)/(H/K) '?if G/H
Ainsi, par exemple :
(Z/ 1 2)/(3Z/ 12) '?if Z/3
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