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Théorie des groupes
1 . 2. 11 Soit U une matrice triangulaire unipotente et T une matrice triangulaire supérieure
(inversible). Alors rur1
est encore triangulaire supérieure, et les termes diagonaux sont
égaux à 1. En effet, lorsqu'on fait le produit de deux matrices triangulaires supérieures, les
éléments diagonaux du produit sont les produits des éléments diagonaux de chacun des facteurs.
Autre version de ce raisonnement, l'application:
: T(n, IK) - IK*"
T = (t ij ) 1---t (t11, ... , t m ,)
est un morphisme de groupe (en comprenant que dans l'ensemble d'arrivée on multiplie
composant par composant). Le groupe des matrices triangulaires unipotentes est le noyau de
ce morphisme.
En revanche, le même groupe n'est pas normal dans GL(n, IK). Il existe des matrices de la
forme MUM- 1 qui ne sont pas triangulaires unipotentes si U est triangulaire unipotente. Pour
s'en convaincre, on peut voir qu'une telle matrice est semblable à U; or on peut trouver des
matrices semblables à une matrice triangulaire unipotente qui ne sont pas triangulaires. Bien
sûr, on s'est placé dans le cas où n > 1.
1 .2.12 Soit un automorphisme quelconque et i x un automorphisme intérieur. Alors, pour
y E G, on a:
o i x o -
1
(y) =(x -
1
(y)x1
) =(x) y(x)- 1 = i <1>cxi
est normal dans le groupe des automorphismes.
1.2.13 Si g est l'ensemble des sous-groupes de G contenant H, et 1i est l'ensemble des
sous-groupes de G /H, on peut définir une application de g dans 1i par :
(K) = K/ H
En effet, si l'on note p la projection de G sur G/H, on a(K) = p(K). L'image de K est bien
un sous-ensemble de G/H. C'est un sous-groupe de G/H car
H
est bijective; si L est un sous-groupe de G/H, alors p- 1 (L) = K est un sous-groupe de G
(car p est un morphisme) qui contient p1
( e ) = H. De plus,(K) = p(K) = p(p1
(L)) = L
car p est surjective ; on a ainsi montré que tout élément de 1i avait un antécédent unique,
est bijective.
Cette correspondance induit aussi une bijection entre sous-groupes normaux. En effet,
l'image inverse et l'image directe par un morphisme surjectif d'un sous-groupe normal est
un sous-groupe normal.
Les sous-groupes de Z/n sont ainsi en correspondance bijective avec les sous-groupes de Z
contenant nZ. Ce sont les dZ où djn. On retrouve un résultat déjà obtenu.
1 .2.14 Comme] op = f, il faut queJ(gH) soit défini parJ(gH) = f(g). Mais pour que cette
définition soit cohérente, il faut que le résultat soit le même quand on change de représentant.
Si gH = g'H alors g1
g' EH c Ker/ doncf(g
1
-
1
g) = e soitf(g') = f(g). De plus, ] est bien
un morphisme, car
f (gHg'H) = f (gg'H) = f(gg') = f(g)f(g') = f (gH }f (g'H)
Enfin,] a même image que/ car l'ensemble desJ(gH) est l'ensemble desf(g).
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Théorie des groupes
1 . 2. 11 Soit U une matrice triangulaire unipotente et T une matrice triangulaire supérieure
(inversible). Alors rur1
est encore triangulaire supérieure, et les termes diagonaux sont
égaux à 1. En effet, lorsqu'on fait le produit de deux matrices triangulaires supérieures, les
éléments diagonaux du produit sont les produits des éléments diagonaux de chacun des facteurs.
Autre version de ce raisonnement, l'application:
: T(n, IK) - IK*"
T = (t ij ) 1---t (t11, ... , t m ,)
est un morphisme de groupe (en comprenant que dans l'ensemble d'arrivée on multiplie
composant par composant). Le groupe des matrices triangulaires unipotentes est le noyau de
ce morphisme.
En revanche, le même groupe n'est pas normal dans GL(n, IK). Il existe des matrices de la
forme MUM- 1 qui ne sont pas triangulaires unipotentes si U est triangulaire unipotente. Pour
s'en convaincre, on peut voir qu'une telle matrice est semblable à U; or on peut trouver des
matrices semblables à une matrice triangulaire unipotente qui ne sont pas triangulaires. Bien
sûr, on s'est placé dans le cas où n > 1.
1 .2.12 Soit un automorphisme quelconque et i x un automorphisme intérieur. Alors, pour
y E G, on a:
o i x o
1
(y) =
1
(y)x1
) =
est normal dans le groupe des automorphismes.
1.2.13 Si g est l'ensemble des sous-groupes de G contenant H, et 1i est l'ensemble des
sous-groupes de G /H, on peut définir une application de g dans 1i par :
En effet, si l'on note p la projection de G sur G/H, on a
un sous-ensemble de G/H. C'est un sous-groupe de G/H car
H
est bijective; si L est un sous-groupe de G/H, alors p- 1 (L) = K est un sous-groupe de G
(car p est un morphisme) qui contient p1
( e ) = H. De plus,
(L)) = L
car p est surjective ; on a ainsi montré que tout élément de 1i avait un antécédent unique,
est bijective.
Cette correspondance induit aussi une bijection entre sous-groupes normaux. En effet,
l'image inverse et l'image directe par un morphisme surjectif d'un sous-groupe normal est
un sous-groupe normal.
Les sous-groupes de Z/n sont ainsi en correspondance bijective avec les sous-groupes de Z
contenant nZ. Ce sont les dZ où djn. On retrouve un résultat déjà obtenu.
1 .2.14 Comme] op = f, il faut queJ(gH) soit défini parJ(gH) = f(g). Mais pour que cette
définition soit cohérente, il faut que le résultat soit le même quand on change de représentant.
Si gH = g'H alors g1
g' EH c Ker/ doncf(g
1
-
1
g) = e soitf(g') = f(g). De plus, ] est bien
un morphisme, car
f (gHg'H) = f (gg'H) = f(gg') = f(g)f(g') = f (gH }f (g'H)
Enfin,] a même image que/ car l'ensemble desJ(gH) est l'ensemble desf(g).
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