1 • Groupes - Groupes cycliques
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1 .2.4 Si est un morphisme :
Vx, y (xy)
2
= x
2
y
2
{=::::} xyxy = xxyy {=::::} yx = xy
le groupe est commutatif, et réciproquement. Si maintenant G est fini, sera un isomorphisme ssi il est injectif ; or le noyau de est formé des éléments d'ordre 2 et de l'identité.
On sait qu'un groupe admet des éléments d'ordre 2 ssi son cardinal est pair (voir 1.1.14), et
la condition recherchée est donc IGI est impair.
1.2.5 L' étude des sous-groupes des groupes cycliques nous a montré que '11,/n n'est simple
que si n est premier. Il n'a pas de sous-groupe non trivial de même que n n'a pas de diviseur
non trivial. Si G est un groupe commutatif non réduit à { e}, prenons x =I e : (x) est un sousgroupe normal et G ne peut être simple que s'il est monogène. Enfin 'Il,, le groupe monogène
infini n'est pas simple, il a une infinité de sous-groupes normaux.
1.2.6 Supposons xH c 11.x pour tout x, et écrivons : hx = xx1
hx = xh'x1
x = xh', (on a
utilisé l'hypothèse avec x1 ) ; on a donc 11.x c xH. De la même façon, il suffit de vérifier
x11.x1
C H pour tout x E G, pour assurer que H est normal dans G.
1.2.7 Dire que H est normal dans G, c'est dire que pour tout x E G, xH = 11.x soit aussi
x11.x1
= H, c'est-à-dire ix(H) = H d'où b). Par ailleurs, si l'on considère la projection de G
sur le groupe G /H, son noyau est H ; réciproquement, si est un morphisme de G dans G',
alors :
Vh E Ker , Vx E G, (xhx1 ) = (x)(h)(x -
1 ) = (x)(x -
1 ) = e
et donc xhx1
E Ker , on a montré xKer x1
C Ker ce qui prouve que le noyau d'un
morphisme est toujours un sous-groupe normal.
1.2.8 Il suffit de l'écrire, soit x dans G et y E H n K. Alors xyx1
E H car H xyx- 1 E K car K 1.2.9 Seule la première implication est vraie ; six E H, alors x E G et xKx1
= K puisque
K est normal dans G. La deuxième implication est fausse ; si xKx1
= K est vrai pour tout x
de H, il n'y a pas de raison que cela reste vrai pour tout x de G. L'hypothèse supplémentaire
de la troisième implication ne permet pas non plus d'obtenir une implication. Vo ici un contreexemple, qui utilise le groupe alterné Ai que nous verrons dans le chapitre suivant (2.4.1 1)
G=Ai
H = { e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
K = {e, (12)(34)}
On a alors K 1.2.10 Soit un morphisme de G vers G' ; l'image réciproque d'un sous-groupe normal
dans G' est un sous-groupe normal dans G. En effet, si H' Vx E G, Vh E -
1
(H'), (xhx -
1 ) = (x)(h)(x) -
1
E (x)H'(x) -
1
= H'
On a bien montré que xhx- 1 E 1
(H'). Cas particulier, si H' = {e}, on retrouve le fait que
le noyau d'un morphisme est toujours normal dans G.
Si, en revanche, H (H) (G) par :
(H) = (xllx -
1 ) = (x)(H)(x) -
1
et, donc, on n'a pas forcément (H) www.bibliomath.com