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Théorie des groupes
Exercice 1.2.18 (Troisième théorème d'isomorphisme)
K et H sont tous les deux normaux dans G. On suppose que K C H. Montrer que :
H/K <1 G/K et (G/K)/(H/K) '2:! G/H
À présent, quelques exercices supplémentaires qui tournent autour des mêmes idées, les
relations entre un groupe et ses sous-groupes.
Exercice 1.2.19 (Lemme de Poincaré)
On suppose que H ::;; G, K ::;; G et qu'ils sont tous deux d'indice fini. Démontrer que leur
intersection est encore d'indice fini. On prouvera :
[G : H n K] :;,; [G : H][G : K]
Donner un exemple où la relation est une inégalité stricte, puis où la relation est une égalité.
Exercice 1.2.20 (Doubles classes)
H et K sont deux sous-groupes de G. Si g E G, une double classe est l'ensemble HgK =
{ hgk/ h EH, k E K}.
l) Montrer qu'une double classe est la réunion de classes à gauche et aussi une réunion de
classes à droite. Montrer que les doubles classes partitionnent G.
2) Lorsque G est fini, calculer le cardinal d'une double classe. On pourra introduire xK.x1
•
3) Que dire si l'un des sous-groupes est normal dans G?
Exercice 1.2.21
Montrer qu'un sous-groupe d'indice 2 dans G est toujours nor� dans G.
SOLUTIONS
1.2.1 Si x est d'ordre n E N, alors(x'') = (x)" prouve que (x) est d'ordre d diviseur de
n. Si est un isomorphisme, alors le même raisonnement avec <1>1
prouve que n divise d, et
donc que x et(x) ont même ordre.
1.2.2 Z et Q ne peuvent être en bijection avec �; ils sont dénombrables ce qui n'est pas
le cas de R Par ailleurs, si Q était isomorphe à Z, il serait monogène, et il existerait un
générateur � tel que tout rationnel puisse s'écrire r = n � où n E Z. Or cela est impossible.
Par exemple, tout rationnel de la forme ? où q' n'est pas diviseur de q ne peut s'écrire ainsi.
1.2.3 i x (yy') = x yy 'x- 1 = x y x- 1 x y 'x- I = i x (y)ix(y'),
ix(e) = xex- 1 = e
prouve qu'un automorphisme intérieur est un morphisme de groupe. C'est également une
bijection car on a immédiatement (;
1
= i x- i . Enfin, l'ensemble des automorphismes intérieurs
est un groupe :
i x o i x ,(y) = i x (x' y x'- 1 ) = xx ' y(.xx ')-I = i xx ' (y)
en ajoutant que i e est le neutre et Cix)1
= i _,:- 1,
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Théorie des groupes
Exercice 1.2.18 (Troisième théorème d'isomorphisme)
K et H sont tous les deux normaux dans G. On suppose que K C H. Montrer que :
H/K <1 G/K et (G/K)/(H/K) '2:! G/H
À présent, quelques exercices supplémentaires qui tournent autour des mêmes idées, les
relations entre un groupe et ses sous-groupes.
Exercice 1.2.19 (Lemme de Poincaré)
On suppose que H ::;; G, K ::;; G et qu'ils sont tous deux d'indice fini. Démontrer que leur
intersection est encore d'indice fini. On prouvera :
[G : H n K] :;,; [G : H][G : K]
Donner un exemple où la relation est une inégalité stricte, puis où la relation est une égalité.
Exercice 1.2.20 (Doubles classes)
H et K sont deux sous-groupes de G. Si g E G, une double classe est l'ensemble HgK =
{ hgk/ h EH, k E K}.
l) Montrer qu'une double classe est la réunion de classes à gauche et aussi une réunion de
classes à droite. Montrer que les doubles classes partitionnent G.
2) Lorsque G est fini, calculer le cardinal d'une double classe. On pourra introduire xK.x1
•
3) Que dire si l'un des sous-groupes est normal dans G?
Exercice 1.2.21
Montrer qu'un sous-groupe d'indice 2 dans G est toujours nor� dans G.
SOLUTIONS
1.2.1 Si x est d'ordre n E N, alors
n. Si
prouve que n divise d, et
donc que x et
1.2.2 Z et Q ne peuvent être en bijection avec �; ils sont dénombrables ce qui n'est pas
le cas de R Par ailleurs, si Q était isomorphe à Z, il serait monogène, et il existerait un
générateur � tel que tout rationnel puisse s'écrire r = n � où n E Z. Or cela est impossible.
Par exemple, tout rationnel de la forme ? où q' n'est pas diviseur de q ne peut s'écrire ainsi.
1.2.3 i x (yy') = x yy 'x- 1 = x y x- 1 x y 'x- I = i x (y)ix(y'),
ix(e) = xex- 1 = e
prouve qu'un automorphisme intérieur est un morphisme de groupe. C'est également une
bijection car on a immédiatement (;
1
= i x- i . Enfin, l'ensemble des automorphismes intérieurs
est un groupe :
i x o i x ,(y) = i x (x' y x'- 1 ) = xx ' y(.xx ')-I = i xx ' (y)
en ajoutant que i e est le neutre et Cix)1
= i _,:- 1,
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