1 • Groupes - Groupes cycliques
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Exercice 1.2.1 1
Montrer que le groupe des matrices triangulaires unipotentes, TU(n, OC) est normal dans
T(n, OC). Est-il normal dans GL(n, OC) ?
Exercice 1.2.12
Montrer que Int(G) est un sous-groupe normal dans Aut(G).
Exercice 1.2.13 (Théorème de correspondance)
Soit H aussi une bijection de l'ensemble de tels sous-groupes K normaux dans G dans l'ensemble
des sous-groupes normaux dans G /H.
Retrouver ainsi les sous-groupes de Z/n.
Exercice 1.2.14 (Théorème de factorisation)
Soit/ : G --+ G' un morphisme de groupe. Soit H que 1 ' on peut définir un morphisme J : G /H t-t G' tel que J o p = f où p est la projection de
G sur G/H. On dit que le morphisme /« passe au quotient». Vérifier que / etJ ont même
image. Ce théorème se symbolise par le schéma suivant :
Dans ce type de diagramme, on convient que si l'on peut aller d'un groupe à un autre par
plusieurs chemins, les morphismes composés correspondant à ces chemins seront égaux ;
on dit parfois que 1' on a un diagramme commutatif.
Exercice 1.2.15 (Premier théorème d'isomorphisme)
Montrer que si/ est un morphisme de G dans G', alors on peut en déduire un isomorphisme
de G/ Ker/ dans lm/. On pourra appliquer le théorème de factorisation.
Exercice 1.2.16
On suppose que H HK.
Exercice 1.2.17 (Deuxième théorème d'isomorphisme)
H et K sont deux sous-groupes de G. On suppose que K H n K www.bibliomath.com