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Théorie des groupes
Dans le cas commutatif, tous les sous-groupes de G sont normaux dans G. Dans le cas
général, les deux sous-groupes « triviaux » de G, i.e. { e} et G sont normaux dans G.
Un groupe qui n'a pas de sous-groupe normal autre que les sous-groupes triviaux est un
groupe simple.
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Exercice 1.2.5
Montrer que les seuls groupes commutatifs simples sont les groupes isomorphes à Z/p où p
est premier.
Exercice 1.2.6
Montrer que Vx E G, xH c Hx {=::::} Vx E G, xH = Hx, et donc H est normal dans G.
Si H est un sous-groupe normal dans G, alors l'ensemble quotient G/H peut être muni
d'une structure de groupe compatible avec celle de G; il suffit de définir le produit des
deux classes xH et yH par xHyH = xyH. Le fait que H est normal dans G montre que
cette définition a un sens. La projection de G sur G /H définie par g - gH est un
morphisme de groupe.
Exercice 1.2.7
Démontrer qu'on peut caractériser un sous-groupe normal H dans G par l'une des conditions
suivantes:
a) c'est le noyau d'un morphisme de G dans un autre groupe;
b) il est stable par tout automorphisme intérieur.
Exercice 1.2.8
Montrer que l'intersection de deux sous-groupes normaux dans G est un sous-groupe normal
dans G.
Exercice 1.2.9
On suppose que K::::; H::::; G. Dire quelles implications sont toujours vraies:
Exercice 1.2.10
K K K Si / est un morphisme de G dans G' que dire de l'image réciproque (resp. l'image directe)
d'un sous-groupe normal dans G' (resp. dans G) ?
1. Les groupes simples sont les « briques » qui permettent, en grande partie, de reconstituer tous les autres
groupes. Les groupes simples finis sont tous connus, mais l'étude complète de leur classification occupe
plusieurs centaines de pages de démonstration.
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