1 • Groupes - Groupes cycliques
13
1.2 MORPHISMES, SOUS-GROUPES NORMAUX,
GROUPES QUOTIENTS
Un morphisme de groupes est une application d'un groupe G dans un groupe H qui
respecte les opérations :
Vg, g' E G, q>(gg') = q>(g)q>(g')
Tout mo rp hisme transporte l'élément neutre en l'élément neutre, le symétrique de
l'image de x est l'image du symétrique de x. De plus, et <1>1
transportent les sousgroupes en des sous-groupes.
Comme en algèbre linéaire, on appelle noyau d'un mo rp hisme , noté Ker(), l'ensemble des antécédents de l'élément neutre. Un mo rp hisme est injectif ssi son noyau est
réduit au neutre.
Si un mo rp hisme de G vers G' est bijectif, son application réciproque est aussi un
mo rp hisme. Les deux groupes sont dits isomorphes, et l'on écrit:
G'?:!G'
Un isomo rp hisme d'un groupe dans lui-même s'appelle un automorphisme. L'ensemble
des automo rp hismes de G est un groupe pour la loi de composition ou loi rond ; il est noté
Aut(G).
Exercice 1.2.1
Quel est l'effet d'un morphisme (d'un isomo rp hisme) sur l'ordre d'un élément?
Exercice 1.2 .2
Les groupes Z, Q, IR munis de l'addition sont-ils isomo rp hes?
Exercice 1.2.3
Soit x un élément quelconque de G. On note i x l'application
i x : G ---+ G
g 1--+ ix(g) = xgx1
Montrer que i x est un automo rp hisme de G. On l'appelle automorphisme intérieur. Montrer que l'ensemble des automorphismes intérieurs est un sous-groupe de l'ensemble des
automo rp hismes de G. On le note Int(G).
Exercice 1.2 .4
Montrer que x 1--+ x
2
de G dans G est un mo rp hisme ssi G est commutatif. Lorsque G est fini,
à quelle condition est-ce un automo rp hisme?
Un sous-groupe H de G est normal (ou distingué) dans G si toute classe à gauche est
une.classe à droite, ou, plus précisément, si Vx E G, xH = Hx. On écrit alors:
H www.bibliomath.com