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Th éorie des groupes
montre que AB = B
2
A, ce qui permet rapidement de voir que le groupe obtenu a bien douze
éléments qui sont :
I, A, A
2
, A
3
, B, B
2
, AB, A
2
B, A
3
B, AB
2
, A
2
B
2
, A
3
B
2
Le groupe obtenu est non commutatif, nous aurons l'occasion d'en donner d'autres descriptions. Disons tout de suite qu'on le note T, et qu'il fait partie des « groupes dicycliques ». Il contient : un élément d'ordre 2, deux éléments d'ordre 3, six éléments d'ordre
4, et deux d'ordre 6.
On trouve alors six sous-groupes non triviaux qui contiennent tous le groupe à deux éléments. Pour une suite, voir l'exercice 3.3.6
1.1 .22 Par définition même, un sous-espace vectoriel doit être lui-même un espace vectoriel, donc doit être un sous-groupe pour l'addition. En revanche, un sous-groupe additif de
l'espace vectoriel JE n'est pas forcément un IK-sous-espace vectoriel de JE. C'est par exemple
le cas de Q, sous-groupe additif du IR-espace vectoriel IR.
Si néanmoins 1K = IF P est un corps fini à p éléments
I
où p est premier, alors les deux notions
coïncident. En effet, la multiplication par un scalaire est, en ce cas, une addition répétée ; si
IF est un sous-groupe additif de JE,
\/À E 1F p , Vx E IF, À.x = ( 1 + l + l + ... + 1).x = x + x + ... + x E IF
On a noté 1 la classe de 1 et utilisé que 1F p est additivement cyclique.
1.1 .23 1) Utilisons pour résoudre cette question le « lemme » : H non vide est un sousgroupe de G ssi HH = H et u1
= H. On rédigera alors ainsi HKHK = HHKK = HK et
(HK)1
= K1
u1
= KH = HK pour démontrer une implication. Pour l'autre, on dira :
K c HK, H c HK ::::} KH c HK,
HK = (HK)1
c K1
u1
= KH
ce qui prouve que HK est un sous-groupe de G implique HK = KH.
2) Soit l'application surjective définie par :
3)
alors

(h, k) f--+ hk
(h,k)=(h' ,k' ) {:::=:} hk =h 'k' {:::=:} kk'1
= h -
1
h' =wEHn K
et si w E H n K, alors (h, k) = (hw, w1
k). L'ensemble des antécédents d'un élément
de HK est donc de cardinal IH n KI et
donc k = k' et h = h'.
IHKI =
IHI IKI
IH n KI
hk = h'k' ::::} kk'1
= h1
h' E H n K = {e}
4) La vérification est immédiate (attention, on est en notation additive).
1. Lorsque qu'on considère sa structure de corps, l'anneau Z/p est plutôt noté IFp .
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