1 • Groupes - Groupes cycliques
11
On « reconnaît » le groupe cyclique à six éléments ; il est commutatif et les puissances de xy,
par exemple, redonnent tous les éléments du groupe. Dans le second cas, on obtient
X Ile
y
y2 X
e e
y
y ' " X
xy xy
'y y
y 2 e
xy 2 X
xy
y 2 y 2 e
y
xy xy
2 X
X
X
xy xy 2 e
y
y 2
xy xy xy 2
X
y2
e
y
xy
2
xy 2
X
xy y
y2
e
C'est un groupe non commutatif ; il a deux éléments d'ordre 3, y et y 2 , et trois d'ordre 2,
x,xy, xy
2
. Pour vérifier l'associativité, on peut prendre le modèle suivant, y est la rotation de
centre O et d'angle 2 ;', x est la réflexion d'axe Ox. On vérifie alors qu'on a bien xy = y
2
x. Ce
groupe, que l'on peut appeler groupe du triangle équilatéral, va réapparaître sous de nouveaux
déguisements
1
, on le notera S3 .
1.1.19 Les connaissances classiques d'algèbre linéaire donnent la réponse aux deux premières questions. GL(n, K) est un groupe, car une matrice est inversible ssi son déterminant
est non nul. SL(n, K) en est un sous-groupe, car le produit de deux matrices de déterminant 1
est une matrice de déterminant 1. Il en va de même pour l'inverse. Pour la dernière question,
utilisons une méthode « géométrique » ; si une matrice de T(n, K) est interprétée comme la
matrice d'un automorphisme u de II{" dans la base canonique, celui-ci est caractérisé parce
qu'il conserve les espaces engendrés par e,, par e, , e 2 , ... , par e,, e 2 , ... , e 11 • L'ensemble de
tels automorphismes est stable pour la composition et pour l'inverse. On peut aussi montrer la
stabilité de cet ensemble par le calcul ; on vérifie alors que si A, B E T(n, K) alors, si C = AB
on a c;; = a;;b;;. Cette observation montre que TU(n, K) est un sous-groupe.
1 .1.20 Les matrices symétriques forment un sous-espace vectoriel donc un sous-groupe additif de l'ensemble des matrices carrées. En revanche, elles ne forment pas un sous-groupe
multiplicatif en se restreignant à celles qui sont inversibles. En effet, le produit de deux matrices symétriques est symétrique ssi ces matrices commutent
1
(A B) = AB {=:}
1
B
1
A = AB {=:} BA = AB
et dès la dimension 2, on trouve des matrices symétriques inversibles qui ne commutent pas.
Pour les mêmes raisons, l'inverse d'une matrice symétrique est une matrice symétrique.
Les matrices de la forme indiquée commutent et forment un sous-groupe de GL(n, K) ; il faut
en particulier vérifier que le produit de deux matrices de cet ensemble est encore une matrice
de la même forme.
1 . 1 . 21 1) Le groupe engendré par A est cyclique ; comme A est d'ordre 4, c'est le groupe
cyclique à quatre éléments ou Z/4.
2) Le groupe engendré par B est cyclique d'ordre 3.
3) La question est plus délicate. Un groupe engendré par deux éléments d'ordre fini peut être
assez compliqué ... Ici, le théorème de Lagrange prouve que le groupe engendré a au moins
douze éléments, car il contient deux sous-groupes ayant quatre et trois éléments. Le calcul
1. Vo ir dans le chapitre 2, le paragraphe Groupes de permutations.
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On « reconnaît » le groupe cyclique à six éléments ; il est commutatif et les puissances de xy,
par exemple, redonnent tous les éléments du groupe. Dans le second cas, on obtient
X Ile
y
y2 X
e e
y
y ' " X
xy xy
'y y
y 2 e
xy 2 X
xy
y 2 y 2 e
y
xy xy
2 X
X
X
xy xy 2 e
y
y 2
xy xy xy 2
X
y2
e
y
xy
2
xy 2
X
xy y
y2
e
C'est un groupe non commutatif ; il a deux éléments d'ordre 3, y et y 2 , et trois d'ordre 2,
x,xy, xy
2
. Pour vérifier l'associativité, on peut prendre le modèle suivant, y est la rotation de
centre O et d'angle 2 ;', x est la réflexion d'axe Ox. On vérifie alors qu'on a bien xy = y
2
x. Ce
groupe, que l'on peut appeler groupe du triangle équilatéral, va réapparaître sous de nouveaux
déguisements
1
, on le notera S3 .
1.1.19 Les connaissances classiques d'algèbre linéaire donnent la réponse aux deux premières questions. GL(n, K) est un groupe, car une matrice est inversible ssi son déterminant
est non nul. SL(n, K) en est un sous-groupe, car le produit de deux matrices de déterminant 1
est une matrice de déterminant 1. Il en va de même pour l'inverse. Pour la dernière question,
utilisons une méthode « géométrique » ; si une matrice de T(n, K) est interprétée comme la
matrice d'un automorphisme u de II{" dans la base canonique, celui-ci est caractérisé parce
qu'il conserve les espaces engendrés par e,, par e, , e 2 , ... , par e,, e 2 , ... , e 11 • L'ensemble de
tels automorphismes est stable pour la composition et pour l'inverse. On peut aussi montrer la
stabilité de cet ensemble par le calcul ; on vérifie alors que si A, B E T(n, K) alors, si C = AB
on a c;; = a;;b;;. Cette observation montre que TU(n, K) est un sous-groupe.
1 .1.20 Les matrices symétriques forment un sous-espace vectoriel donc un sous-groupe additif de l'ensemble des matrices carrées. En revanche, elles ne forment pas un sous-groupe
multiplicatif en se restreignant à celles qui sont inversibles. En effet, le produit de deux matrices symétriques est symétrique ssi ces matrices commutent
1
(A B) = AB {=:}
1
B
1
A = AB {=:} BA = AB
et dès la dimension 2, on trouve des matrices symétriques inversibles qui ne commutent pas.
Pour les mêmes raisons, l'inverse d'une matrice symétrique est une matrice symétrique.
Les matrices de la forme indiquée commutent et forment un sous-groupe de GL(n, K) ; il faut
en particulier vérifier que le produit de deux matrices de cet ensemble est encore une matrice
de la même forme.
1 . 1 . 21 1) Le groupe engendré par A est cyclique ; comme A est d'ordre 4, c'est le groupe
cyclique à quatre éléments ou Z/4.
2) Le groupe engendré par B est cyclique d'ordre 3.
3) La question est plus délicate. Un groupe engendré par deux éléments d'ordre fini peut être
assez compliqué ... Ici, le théorème de Lagrange prouve que le groupe engendré a au moins
douze éléments, car il contient deux sous-groupes ayant quatre et trois éléments. Le calcul
1. Vo ir dans le chapitre 2, le paragraphe Groupes de permutations.
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