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Théorie des groupes
même idée. Soit x =/ e. Son ordre est un diviseur de p différent de 1, c'est p. Le groupe
G est donc engendré par p et est cyclique. Un groupe à 2 éléments sera cyclique, de modèle
'll../2 = {O, î} s'il est noté additivement, ou {1, -1} s'il est multiplicatif. De même, un groupe
à trois éléments sera 'll../3 ou {1,j,j
2
}, avecj = e�, racine cubique de l'unité. De même pour
cinq ou sept éléments. La suite nous prouvera que p premier n'est pas le seul cas où il existe
un seul type de groupe ayant p éléments ; voir le tableau dans l'annexe B2.
1.1.17 Parmi les groupes ayant quatre éléments, il y a le groupe cyclique 'll../4 ou en version
multiplicative { 1, -1, i, -i}. Si G a quatre éléments et n'est pas cyclique, tous les éléments
différents de e ont pour ordre 2. G est donc commutatif d'après l'exercice 1.1.13. Soit x et y
deux éléments distincts et différents de e. Alors x
2
= y
2
= e et xy =/ x,xy =/ y car ni x ni y ne
sont neutres. Comme le groupe est d'ordre 4, il n'y a pas d'autre élément. La table suivante
s'en déduit, compte-tenu de la commutativité et de l'ordre 2 de xy:
* I l e X y xy 1
e e X y xy
X
X
e xy y
y y
xy e X
xy xy y
X
e
C'est un carré latin. Reste à vérifier, il n'y a pas beaucoup de cas, l'associativité ... Une autre
méthode pour vérifier cette associativité est de trouver un « modèle » : dans le plan euclidien,
(Oxy) repère orthogonal, on prend pour x la réflexion d'axe Ox, pour y la réflexion d'axe
Oy. xy est alors la symétrie de centre O et le groupe obtenu est le groupe des isométries qui
conservent un rectangle centré en O et d'axes de symétrie Ox et Oy. D'où le nom de groupe
du rectangle pour ce groupe V (de l'allemand « vier », quatre). On le nomme également
groupe de Kl ein
1
•
1 . 1 . 18 Il y a le groupe cyclique. Soit G non cyclique d'ordre 6 et x un élément d'ordre 2. Il
en existe d'après l'exercice 1.1.14. Si tous les éléments différents de e étaient d'ordre 2, on
retrouverait un sous-groupe d'ordre 4 comme dans l'exercice précédent, ce qui est absurde
(théorème de Lagrange). Il existe un élément y d'ordre 3. G contient donc déjà e, x, y, y
2
, et
y
2
=/ x car il est d'ordre 3. Soit alors l'élément xy. Il est différent de e, car l'inverse de x est
lui-même, de x et de y, car x et y sont différents de e. Il est différent de y
2
car x est différent de
y. Enfin, les mêmes arguments montrent que xy
2
est distinct des précédents. Reste à définir
les autres produits : yx ne peut être égal à e, x, y, y
2
, il peut être xy ou yx. Compte-tenu de
l'associativité, on voit rapidement que chacune des hypothèses permet de remplir la table ;
dans le premier cas, on obtient :
X Il e
y
y2
X
xy
x y2 1
e e
y
y'X
xy
x y 'y y
y2
e
x y x y 2 X
y2 y2
e
y
x y 2 X
x y
X
X
xy xy 2 e
y
y2
xy xy xy
2
X
y
y 2 e
xy
2
xy
2
X
xy ,2
e
y
1. Dans le chapitre suivant, nous retrouverons ce groupe sous la forme Z/2 x Z/2.
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Théorie des groupes
même idée. Soit x =/ e. Son ordre est un diviseur de p différent de 1, c'est p. Le groupe
G est donc engendré par p et est cyclique. Un groupe à 2 éléments sera cyclique, de modèle
'll../2 = {O, î} s'il est noté additivement, ou {1, -1} s'il est multiplicatif. De même, un groupe
à trois éléments sera 'll../3 ou {1,j,j
2
}, avecj = e�, racine cubique de l'unité. De même pour
cinq ou sept éléments. La suite nous prouvera que p premier n'est pas le seul cas où il existe
un seul type de groupe ayant p éléments ; voir le tableau dans l'annexe B2.
1.1.17 Parmi les groupes ayant quatre éléments, il y a le groupe cyclique 'll../4 ou en version
multiplicative { 1, -1, i, -i}. Si G a quatre éléments et n'est pas cyclique, tous les éléments
différents de e ont pour ordre 2. G est donc commutatif d'après l'exercice 1.1.13. Soit x et y
deux éléments distincts et différents de e. Alors x
2
= y
2
= e et xy =/ x,xy =/ y car ni x ni y ne
sont neutres. Comme le groupe est d'ordre 4, il n'y a pas d'autre élément. La table suivante
s'en déduit, compte-tenu de la commutativité et de l'ordre 2 de xy:
* I l e X y xy 1
e e X y xy
X
X
e xy y
y y
xy e X
xy xy y
X
e
C'est un carré latin. Reste à vérifier, il n'y a pas beaucoup de cas, l'associativité ... Une autre
méthode pour vérifier cette associativité est de trouver un « modèle » : dans le plan euclidien,
(Oxy) repère orthogonal, on prend pour x la réflexion d'axe Ox, pour y la réflexion d'axe
Oy. xy est alors la symétrie de centre O et le groupe obtenu est le groupe des isométries qui
conservent un rectangle centré en O et d'axes de symétrie Ox et Oy. D'où le nom de groupe
du rectangle pour ce groupe V (de l'allemand « vier », quatre). On le nomme également
groupe de Kl ein
1
•
1 . 1 . 18 Il y a le groupe cyclique. Soit G non cyclique d'ordre 6 et x un élément d'ordre 2. Il
en existe d'après l'exercice 1.1.14. Si tous les éléments différents de e étaient d'ordre 2, on
retrouverait un sous-groupe d'ordre 4 comme dans l'exercice précédent, ce qui est absurde
(théorème de Lagrange). Il existe un élément y d'ordre 3. G contient donc déjà e, x, y, y
2
, et
y
2
=/ x car il est d'ordre 3. Soit alors l'élément xy. Il est différent de e, car l'inverse de x est
lui-même, de x et de y, car x et y sont différents de e. Il est différent de y
2
car x est différent de
y. Enfin, les mêmes arguments montrent que xy
2
est distinct des précédents. Reste à définir
les autres produits : yx ne peut être égal à e, x, y, y
2
, il peut être xy ou yx. Compte-tenu de
l'associativité, on voit rapidement que chacune des hypothèses permet de remplir la table ;
dans le premier cas, on obtient :
X Il e
y
y2
X
xy
x y2 1
e e
y
y'X
xy
x y 'y y
y2
e
x y x y 2 X
y2 y2
e
y
x y 2 X
x y
X
X
xy xy 2 e
y
y2
xy xy xy
2
X
y
y 2 e
xy
2
xy
2
X
xy ,2
e
y
1. Dans le chapitre suivant, nous retrouverons ce groupe sous la forme Z/2 x Z/2.
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