1 • Groupes - Groupes cyc liques
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1 . 1 . 11 Dans l'exercice précédent, on a montré que cp(p) = p - 1. Cherchons maintenant
les entiers inférieurs à p
rx
qui sont non premiers à p
rx
. Ce sont les nombres divisibles par p de
la forme kp pour O � k < p
rx - I . Il y en a donc p
rx
-
1
, et l'on en déduit cp(p
rx
) = p
rx
- p
rx
- I .
Pour la dernière formule, on considère G = (x) un groupe cyclique d'ordre net on classe ses
éléments suivant leur ordre, c'est un entier d diviseur de n, et chaque élément d'ordre d est
un générateur du (seul) sous-groupe d'ordre d. Le nombre des éléments d'ordre d est donc
le nombre des générateurs d'un groupe cyclique d'ordre d, soit cp(d). Cette partition donne
donc l'égalité :
n = I:: <1>
dl11
1.1.12 On sait déjà qu'un groupe cyclique a cette propriété. Réciproquement, soit G d'ordre
n un groupe ayant un seul sous-groupe d'ordre d pour tout d diviseur de n. On note tlJ(d) le
nombre des éléments de G qui sont d'ordre d, nombre qui peut être éventuellement nul. Soit
d tel que tlJ(d) =/ 0 et x un élément d'ordre d. Alors (x) est le seul sous-groupe d'ordre d, il est
cyclique, et tout élément d'ordre d engendre ce même groupe: on a donc tlJ(d) = cp(d) chaque
fois que tlJ(d) est non nul. Mais, en classant les éléments de G suivant leur ordre, on obtient
une partition de G et :
n = I:: t1i = I:: <1>
dl11
dl11
il est donc impossible que pour un d, tlJ(d) soit nul; on a, pour tout d, tlJ(d) = cp(d), en
particulier tli(n) = cp(n), et est non nul, il existe un élément d'ordre net G est cyclique.
Avec les mêmes notations, supposons maintenant que G soit un sous-groupe fini du groupe
multiplicatif d'un corps. Soit g un élément d'ordre d, s'il en existe, et H = (g). Alors tout
élément d'ordre d vérifie l'égalité � = 1, et les d éléments de H vérifient aussi cette égalité.
Mais dans un corps, une équation de degré d admet au plus d solutions ; tous les éléments
d'ordre d sont donc dans H et en sont des générateurs. On termine comme ci-dessus.
1.1.13 Suppposons que tout carré soit égal à l'élément neutre:
(xy)
2
= xyxy = e => x(xyxy)y = x(e)y => yx = xy
Le groupe est donc commutatif.
1.1 .14 On peut partitionner G en deux sous-ensembles, l'ensemble des éléments égaux
à leur inverse, et l'ensemble de ceux qui sont différents de leur inverse. Le cardinal de ce
dernier ensemble est pair ( on regroupe par paires x et x1 ) ; le premier ensemble contient au
moins l'élément neutre. Si donc le cardinal G est pair, ce premier ensemble contient au moins
un élément x =/ e, tel que x = x1
soit x
2
= e, x est d'ordre 2. La réciproque est contenue dans
le théorème de Lagrange: si x est d'ordre 2 dans un groupe fini, son ordre divise le cardinal
du groupe.
1.1.15 Dans un sens, pas de problème ... Pour l'autre sens, une idée est de se ramener aux
groupes monogènes. Supposons que G ait un nombre fini de sous-groupes, il y a alors un
nombre fini de sous-groupes de la forme (x) . Si G avait une infinité d'éléments, parmi ces
sous-groupes un serait monogène infini, ce qui est absurde car un tel groupe a une infinité de
sous-groupes.
1.1.16 Nous avons déjà remarqué qu'un groupe cyclique ayant p éléments, p premier, n'a
aucun sous-groupe non trivial. Pour un groupe G quelconque, d'ordre p premier, c'est la
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