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qui donne kl = ppcm(k, n) ; or, on sait que :
On en déduit que
kn
ppcm(k,n) = k V n = -
k
-
1\ n
yf -
n
1
1
-
k/\n
Théorie des groupes
Remarquons que :I est de même ordre que x lorsque k et n sont premiers entre eux.
4) Le fait que a et b commutent permet d'écrire : (abl = a
k
l
J
. Soient alors ne t m les
ordres respectifs de a et b. On a bien sûr (ab )
11111
= a
11111
b
11111
= e. Supposons maintenant que
(ab/ = a
e
b
e
= e. Élevons cette égalité à l'exposant n, a
e
"b
b
' = b
e
" = e. On en déduit que
ln est un multiple de m. Comme n et m sont premiers entre eux, il vient, par le théorème
de Gauss, que l est un multiple de m. De même, on montre que l est un multiple de n, et l
est un multiple du ppcm de met n, c'est-à-dire de mn. Sim et n ne sont pas premiers entre
eux, l'ordre de ab peut être plus petit que le ppcm des ordres ; si a est d'ordre 4, alors a
3
est d'ordre 4 et leur produit est d'ordre ... 1.
5) Si ab est d'ordre n, alors :
(ba)" = b(ab)'
1 - 1
a = b(ab)1
a = bb1
a1
a = e
et ba est d'ordre m inférieur à n. Le même calcul montre que n est inférieur à m d'où
l'égalité des ordres.
6) La réciproque est fausse. Autrement dit, il existe des groupes infinis dont tout élément
est d'ordre fini. Nous aurons l'occasion d'en rencontrer plusieurs, mais voici un premier
exemple. Soit G le groupe des suites à valeurs dans Z/2 ; il est muni d'une structure de
groupe additif en posant (u + v) 11 = u 11 + v 11 , et tout élément est d'ordre fini égal à 2 (1 pour
la suite constante nulle).
1.1.9 On reprend le même genre d'arguments que dans l'exercice précédent. Soit H un
sous-groupe (autre que { e}) et x k E H tel que k > 0 (il y a de tels k car H est stable pour la
prise d'inverse) soit minimum. Alors, xf E H {=:::::} p E k'l!., par division euclidienne de p par
k. Si G est infini, H = (xk) est alors un sous-groupe de G, et est aussi cyclique infini. Si G est
fini d'ordre n, le théorème de Lagrange (1.1.5) permet d'affirmer que card(H) est un diviseur
dde n.
Soit alors d un diviseur quelconque de n. Alors (xS) est un sous-groupe d'ordre d (puisque
x� est exactement d'ordre d, cf. 1.1.8). Donc il existe toujours un sous-groupe d'ordre d.
Montrons maintenant qu'il n'y en a qu'un seul, si (xk) est un sous-groupe d'ordre d, alors
yf
d
= e, donc nlkd et �lk. Cela montre que x k appartient à (xS). On a donc (xk) C (x � ). Mais
comme ces deux groupes ont même ordre, ils coïncident.
Il y a donc un seul sous-groupe d'ordre d. Si n est premier, il n'y a donc aucun sous-groupe
autre que e et G lui-même.
1.1.10 On peut utiliser l'exercice 1.1.8 pour trouver les générateurs de (x) où x est d'ordre
n: l'ordre de x k est k�11
, il faut et suffit que k soit premier à n pour que x k soit d'ordre net
donc générateur de G. Le nombre des générateurs de G est donc le nombre des entiers k plus
petit que n et premiers à n, noté(n). Ainsi, pour n = 12, sont générateurs x, x
5
, x
1
, x" et
<1>(12) = 4. Sin = p est un nombre premier, tous les k =I O conviennent et
qui donne kl = ppcm(k, n) ; or, on sait que :
On en déduit que
kn
ppcm(k,n) = k V n = -
k
-
1\ n
yf -
n
1
1
-
k/\n
Théorie des groupes
Remarquons que :I est de même ordre que x lorsque k et n sont premiers entre eux.
4) Le fait que a et b commutent permet d'écrire : (abl = a
k
l
J
. Soient alors ne t m les
ordres respectifs de a et b. On a bien sûr (ab )
11111
= a
11111
b
11111
= e. Supposons maintenant que
(ab/ = a
e
b
e
= e. Élevons cette égalité à l'exposant n, a
e
"b
b
' = b
e
" = e. On en déduit que
ln est un multiple de m. Comme n et m sont premiers entre eux, il vient, par le théorème
de Gauss, que l est un multiple de m. De même, on montre que l est un multiple de n, et l
est un multiple du ppcm de met n, c'est-à-dire de mn. Sim et n ne sont pas premiers entre
eux, l'ordre de ab peut être plus petit que le ppcm des ordres ; si a est d'ordre 4, alors a
3
est d'ordre 4 et leur produit est d'ordre ... 1.
5) Si ab est d'ordre n, alors :
(ba)" = b(ab)'
1 - 1
a = b(ab)1
a = bb1
a1
a = e
et ba est d'ordre m inférieur à n. Le même calcul montre que n est inférieur à m d'où
l'égalité des ordres.
6) La réciproque est fausse. Autrement dit, il existe des groupes infinis dont tout élément
est d'ordre fini. Nous aurons l'occasion d'en rencontrer plusieurs, mais voici un premier
exemple. Soit G le groupe des suites à valeurs dans Z/2 ; il est muni d'une structure de
groupe additif en posant (u + v) 11 = u 11 + v 11 , et tout élément est d'ordre fini égal à 2 (1 pour
la suite constante nulle).
1.1.9 On reprend le même genre d'arguments que dans l'exercice précédent. Soit H un
sous-groupe (autre que { e}) et x k E H tel que k > 0 (il y a de tels k car H est stable pour la
prise d'inverse) soit minimum. Alors, xf E H {=:::::} p E k'l!., par division euclidienne de p par
k. Si G est infini, H = (xk) est alors un sous-groupe de G, et est aussi cyclique infini. Si G est
fini d'ordre n, le théorème de Lagrange (1.1.5) permet d'affirmer que card(H) est un diviseur
dde n.
Soit alors d un diviseur quelconque de n. Alors (xS) est un sous-groupe d'ordre d (puisque
x� est exactement d'ordre d, cf. 1.1.8). Donc il existe toujours un sous-groupe d'ordre d.
Montrons maintenant qu'il n'y en a qu'un seul, si (xk) est un sous-groupe d'ordre d, alors
yf
d
= e, donc nlkd et �lk. Cela montre que x k appartient à (xS). On a donc (xk) C (x � ). Mais
comme ces deux groupes ont même ordre, ils coïncident.
Il y a donc un seul sous-groupe d'ordre d. Si n est premier, il n'y a donc aucun sous-groupe
autre que e et G lui-même.
1.1.10 On peut utiliser l'exercice 1.1.8 pour trouver les générateurs de (x) où x est d'ordre
n: l'ordre de x k est k�11
, il faut et suffit que k soit premier à n pour que x k soit d'ordre net
donc générateur de G. Le nombre des générateurs de G est donc le nombre des entiers k plus
petit que n et premiers à n, noté
5
, x
1
, x" et
<1>(12) = 4. Sin = p est un nombre premier, tous les k =I O conviennent et