1 • Groupes - Groupes cycliques
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dans G. Il peut être fini quand G et H sont infinis : c'est le cas de l'indice de n'll, dans 'Il,
(qui vaut n). Quand G est fini, toutes les classes d'équivalence ont autant d'éléments que
Het:
card(G) = [G : H] card(H)
En particulier, on en déduit le théorème de Lagrange : le cardinal d'un sous-groupe d'un
groupe de cardinal fini n est un diviseur de n.
5) On peut, pour définir les classes à droite, considérer la relation d'équivalence :
xS y <==> y E H.x <==> y x- 1 E H
La relation R et la relation S sont alors reliées par :
xR y <==> x- 1 s y - 1
Si donc on note, comme cela se fait parfois, G \ H l'ensemble des classes d'équivalence à
droite, il y a bijection entre les deux ensembles quotients par :
xH 1--+ 11.x- 1
1.1.6 Supposons que la famille (gi)iE / soit une famille de représentants des classes de G
modulo K et que (k j ) jE J soit une famille de représentants des classes de K modulo H. Alors,
G=LJ giK = LJ gik j H
iE /
( ij)E /xJ
Par ailleurs, si gik j H = gi,k j ' H, il vient g 1
1
g;, E K puisque H c K, et donc giK = gi, K, soit
g; = gi ' · On a alors k j H = k j ' H d'où k j = k j ' , On en déduit que les (gik j ) ( ij) E lxJ constituent
une famille de représentants des classes de G modulo H. Et donc, si l'indice [G : H] est fini,
le cardinal de I x J est fini, I et J sont finis et
[G : H] = [G : K] [K : H]
1.1.7 (x) contient tous les éléments de la forme x
i
, i E 'Il,, S'il est fini, il existe i etj distincts
(par exemple i > j) tels que x
i
= xi. On en déduit x H = e. Définissons maintenant n comme
étant le plus petit des entiers strictement positifs tels que x' = e. Alors :
• Jd1=e <==> p En Z
• G = {e, x, x
2 , ••• ,x
1 - 1 }
En effet, si Jd1 = e et si p = n q + r est la division euclidienne de p par n, alors x
r
= (Jd1)(x
1
)-q =
e ; au vu de la définition de n, on doit avoir r = 0, donc p est un multiple de n. On vérifie
que les éléments indiqués sont distincts, sinon on aurait une égalité de la forme x H = e avec
0 < i - j < n. De plus, G ainsi décrit est bien un groupe, l'inverse de x i est x
1
-
i
.
Dans le cas infini, toutes les puissances de x sont distinctes, sinon l'argumentation ci-dessus
conduirait à G fini. Alors, l'ensemble { ... , x2
, x1
, e, x, x
2
, x
3
, ... } est bien un groupe.
1.1.8 Cet exercice ressemble beaucoup au précédent. On ne reprendra pas le détail des
arguments.
1) Si x est d'ordre n, alors le sous-groupe engendré par x est {e, x, x
2 , x
3 , ••• ,x
1 -
1 }. Ces
éléments sont distincts, au nombre de n. On a bien lxl = 1 (x) 1, Si x n'est pas d'ordre fini, le
sous-groupe engendré par x est en bijection avec 'Il,, il a une infinité d'éléments.
2) Déjà vu dans l'exercice précédent.
3) Soit l l'ordre de i'. Alors, (i'/ = e, donc 3.>.. E Z/ kl = nÀ. Ce nombre est donc un
multiple commun de k et de n, la plus petite valeur positive de l est par conséquent celle
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dans G. Il peut être fini quand G et H sont infinis : c'est le cas de l'indice de n'll, dans 'Il,
(qui vaut n). Quand G est fini, toutes les classes d'équivalence ont autant d'éléments que
Het:
card(G) = [G : H] card(H)
En particulier, on en déduit le théorème de Lagrange : le cardinal d'un sous-groupe d'un
groupe de cardinal fini n est un diviseur de n.
5) On peut, pour définir les classes à droite, considérer la relation d'équivalence :
xS y <==> y E H.x <==> y x- 1 E H
La relation R et la relation S sont alors reliées par :
xR y <==> x- 1 s y - 1
Si donc on note, comme cela se fait parfois, G \ H l'ensemble des classes d'équivalence à
droite, il y a bijection entre les deux ensembles quotients par :
xH 1--+ 11.x- 1
1.1.6 Supposons que la famille (gi)iE / soit une famille de représentants des classes de G
modulo K et que (k j ) jE J soit une famille de représentants des classes de K modulo H. Alors,
G=LJ giK = LJ gik j H
iE /
( ij)E /xJ
Par ailleurs, si gik j H = gi,k j ' H, il vient g 1
1
g;, E K puisque H c K, et donc giK = gi, K, soit
g; = gi ' · On a alors k j H = k j ' H d'où k j = k j ' , On en déduit que les (gik j ) ( ij) E lxJ constituent
une famille de représentants des classes de G modulo H. Et donc, si l'indice [G : H] est fini,
le cardinal de I x J est fini, I et J sont finis et
[G : H] = [G : K] [K : H]
1.1.7 (x) contient tous les éléments de la forme x
i
, i E 'Il,, S'il est fini, il existe i etj distincts
(par exemple i > j) tels que x
i
= xi. On en déduit x H = e. Définissons maintenant n comme
étant le plus petit des entiers strictement positifs tels que x' = e. Alors :
• Jd1=e <==> p En Z
• G = {e, x, x
2 , ••• ,x
1 - 1 }
En effet, si Jd1 = e et si p = n q + r est la division euclidienne de p par n, alors x
r
= (Jd1)(x
1
)-q =
e ; au vu de la définition de n, on doit avoir r = 0, donc p est un multiple de n. On vérifie
que les éléments indiqués sont distincts, sinon on aurait une égalité de la forme x H = e avec
0 < i - j < n. De plus, G ainsi décrit est bien un groupe, l'inverse de x i est x
1
-
i
.
Dans le cas infini, toutes les puissances de x sont distinctes, sinon l'argumentation ci-dessus
conduirait à G fini. Alors, l'ensemble { ... , x2
, x1
, e, x, x
2
, x
3
, ... } est bien un groupe.
1.1.8 Cet exercice ressemble beaucoup au précédent. On ne reprendra pas le détail des
arguments.
1) Si x est d'ordre n, alors le sous-groupe engendré par x est {e, x, x
2 , x
3 , ••• ,x
1 -
1 }. Ces
éléments sont distincts, au nombre de n. On a bien lxl = 1 (x) 1, Si x n'est pas d'ordre fini, le
sous-groupe engendré par x est en bijection avec 'Il,, il a une infinité d'éléments.
2) Déjà vu dans l'exercice précédent.
3) Soit l l'ordre de i'. Alors, (i'/ = e, donc 3.>.. E Z/ kl = nÀ. Ce nombre est donc un
multiple commun de k et de n, la plus petite valeur positive de l est par conséquent celle
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