SOLUTIONS
1.1.1 Si b est inverse à gauche de a, montrons qu'il est aussi inverse à droite, b *(a* b) =
(b*a)*b = e*b = b; si c est l'inverse à gauche de b, (c*b)*(a*b) = e*(a*b) = a*b = C*b = e,
donc a*b = e. Montrons maintenant que e est aussi neutre à droite : a*e = a*b*a = e*a = a.
1.1.2 La ligne ide la matrice est l'ensemble des images des éléments de G par l'application
x 1--+ x; * x. Or cette application, que l'on nomme translation à gauche, et qu'on note L x; , est
bijective, puisque l'équation x; * x = y a pour seule solution x = x 1
1
* y. On traite de même
les colonnes de la matrice.
Tous les carrés latins ne sont pas des tables de groupe, même si l'on impose que la première
ligne et la première colonne correspondent à l'élément neutre :
1 * Il e a 1 a2 a 3 a4 1
e e a 1 a2 a 3 a4
a 1 a 1 a2 a4 e a 3
a2 a2 a 3 a 1 a4 e
a 3 a 3 a4 e a2 a 1
a4 a4 e a 3 a 1 a 2
Sur ce tableau on constate par exemple que : (a 1 * a 2 ) * a 3 = a4 * a 3 = a 1 et que a 1 * (a2 * a 3 ) =
a 1 * a4 = a 3 . La loi n'est pas associative.
1.1.3 Tout repose sur la propriété suivante. L' intersection de groupes est un groupe. Si donc
S est un sous-ensemble de G, l'intersection des sous-groupes de G qui contiennent S est un
sous-groupe, le plus petit contenant S. Comme G lui-même est un sous-groupe contenant S,
cette intersection est bien définie et est non vide. Il est ensuite facile de montrer que ce sousgroupe est l'ensemble des produits de la forme : s1
1
s;
2 ••• s:k où les s; sont dans S et e; = ± 1.
Comparer cette notion avec celle de« sous-espace vectoriel engendré par une partie».
1.1.4 Soit x EH et : g 1--+ xg. Par hypothèse, si l'on restreint à H, l'ensemble d'arrivée
est bien H. De plus, est injective (un antécédent de y est x1
y). Comme H est fini, elle est
bijective, et donc e admet un antécédent, x est inversible dans H. H est donc bien un sousgroupe de G. Pour un contre-exemple, regarder N, stable pour la somme, mais qui n'est pas
un sous-groupe de Z.
1.1.5 1) x'Rx pour tout x, car x = xe E xH ; si xRy et yRz alors x = yh, y = zh' donc
x = zh' h et x E zH. Enfin si x = yh alors y = xh1
• On a montré que la relation est réflexive,
transitive et symétrique lorsque H est un sous-groupe. Remarquons que la relation R peut
aussi être définie par : xRy {::::::: x1
y EH .
2) La définition même de la relation montre que les éléments en relation avec x sont tous dans
xH ; de plus, l'application de H dans xH définie par h 1--+ xh est bijective, surjective par
définition de xH et injective car xh = xh' =} h = h', en composant à gauche par l'inverse
de x.
3) xH = H équivaut à x est en relation avec e, soit x E H. Si une classe est un sous-groupe,
alors elle contient l'élément neutre e. C'est donc la classe de e, c'est-à-dire H. Toutes les
autres classes ne sont pas des sous-groupes.
4) Comme pour toute relation d'équivalence, les classes d'équivalence forment une partition
du groupe G. Leur ensemble s'écrit G/H son cardinal, [G : H] s'appelle l'indice de H
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1.1.1 Si b est inverse à gauche de a, montrons qu'il est aussi inverse à droite, b *(a* b) =
(b*a)*b = e*b = b; si c est l'inverse à gauche de b, (c*b)*(a*b) = e*(a*b) = a*b = C*b = e,
donc a*b = e. Montrons maintenant que e est aussi neutre à droite : a*e = a*b*a = e*a = a.
1.1.2 La ligne ide la matrice est l'ensemble des images des éléments de G par l'application
x 1--+ x; * x. Or cette application, que l'on nomme translation à gauche, et qu'on note L x; , est
bijective, puisque l'équation x; * x = y a pour seule solution x = x 1
1
* y. On traite de même
les colonnes de la matrice.
Tous les carrés latins ne sont pas des tables de groupe, même si l'on impose que la première
ligne et la première colonne correspondent à l'élément neutre :
1 * Il e a 1 a2 a 3 a4 1
e e a 1 a2 a 3 a4
a 1 a 1 a2 a4 e a 3
a2 a2 a 3 a 1 a4 e
a 3 a 3 a4 e a2 a 1
a4 a4 e a 3 a 1 a 2
Sur ce tableau on constate par exemple que : (a 1 * a 2 ) * a 3 = a4 * a 3 = a 1 et que a 1 * (a2 * a 3 ) =
a 1 * a4 = a 3 . La loi n'est pas associative.
1.1.3 Tout repose sur la propriété suivante. L' intersection de groupes est un groupe. Si donc
S est un sous-ensemble de G, l'intersection des sous-groupes de G qui contiennent S est un
sous-groupe, le plus petit contenant S. Comme G lui-même est un sous-groupe contenant S,
cette intersection est bien définie et est non vide. Il est ensuite facile de montrer que ce sousgroupe est l'ensemble des produits de la forme : s1
1
s;
2 ••• s:k où les s; sont dans S et e; = ± 1.
Comparer cette notion avec celle de« sous-espace vectoriel engendré par une partie».
1.1.4 Soit x EH et : g 1--+ xg. Par hypothèse, si l'on restreint à H, l'ensemble d'arrivée
est bien H. De plus, est injective (un antécédent de y est x1
y). Comme H est fini, elle est
bijective, et donc e admet un antécédent, x est inversible dans H. H est donc bien un sousgroupe de G. Pour un contre-exemple, regarder N, stable pour la somme, mais qui n'est pas
un sous-groupe de Z.
1.1.5 1) x'Rx pour tout x, car x = xe E xH ; si xRy et yRz alors x = yh, y = zh' donc
x = zh' h et x E zH. Enfin si x = yh alors y = xh1
• On a montré que la relation est réflexive,
transitive et symétrique lorsque H est un sous-groupe. Remarquons que la relation R peut
aussi être définie par : xRy {::::::: x1
y EH .
2) La définition même de la relation montre que les éléments en relation avec x sont tous dans
xH ; de plus, l'application de H dans xH définie par h 1--+ xh est bijective, surjective par
définition de xH et injective car xh = xh' =} h = h', en composant à gauche par l'inverse
de x.
3) xH = H équivaut à x est en relation avec e, soit x E H. Si une classe est un sous-groupe,
alors elle contient l'élément neutre e. C'est donc la classe de e, c'est-à-dire H. Toutes les
autres classes ne sont pas des sous-groupes.
4) Comme pour toute relation d'équivalence, les classes d'équivalence forment une partition
du groupe G. Leur ensemble s'écrit G/H son cardinal, [G : H] s'appelle l'indice de H
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