1 • Groupes - Groupes cycliques
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2) L'ensemble des matrices de déterminant égal à 1, SL(n, IK) (groupe spécial linéaire).
3) L'ensemble des matrices triangulaires supérieures, T(n, IK) (matrices inversibles dont
tous les coefficients d'indice i > j sont nuls) ou des matrices triangulaires unipotentes,
TU(n, JK), c'est-à-dire les matrices triangulaires supérieures n'ayant que des 1 sur la
diagonale.
Exercice 1.1.20
L'ensemble des matrices symétriques inversibles est-il un sous-groupe de l'ensemble des
matrices inversibles? Montrer que l'ensemble des matrices qui s'écrivent (: : ) avec a
2
=/
b
2
est un groupe pour le produit.
----- -
Exercice 1.1.21
Trouver les sous-groupes engendrés par les matrices suivantes (la loi est le produit des matrices) :
1) A= ( � �
l )
( j Ü) , 2i1r
2) B =
0 j 2 avecJ = eT
3) Étudier le groupe engendré par A et B. On vérifiera qu'il a douze éléments, et l'on en
cherchera les sous-groupes.
Exercice 1.1.22
Soient JE un OC-espace vectoriel et IF un sous-espace vectoriel. Montrer que IF est un sousgroupe additif de JE. Réciproquement, est-ce que tout sous-groupe additif de JE est un sousespace vectoriel ? Donner des contre-exemples, mais examiner aussi le cas où 1K est un corps
fini.
L'exercice suivant est important. Il montre comment construire un groupe à l'aide de deux
autres. Nous rencontrerons à nouveau, et à plusieurs reprises, ce genre de construction.
Exercice 1.1.23
Soit G un groupe et H � G, K � G deux sous-groupes. On s'intéresse à l'ensemble des
éléments de la forme hk où h E H, k E K, ensemble que l'on note HK.
1) Démontrer que HK est un sous-groupe si et seulement si HK = KH .
2) Quel est le cardinal de HK quand les deux groupes H et K sont finis ?
3) Montrer que si H n K = { e }, alors tout élément de HK s'écrit de façon unique comme
produit hk.
4) Soit G = Z/6 et H = (2}, K = (3}. Vérifier que G = HK et qu'il y a unicité de l'écriture
comme dans la question précédente.
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