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Théorie des groupes
Exercice 1 .1. 12
Montrer qu'un groupe fini de cardinal n est cyclique ssi pour tout d divisant n, il existe un
seul sous-groupe de cardinal d. On utilisera l'exercice précédent. Montrer de même que tout
sous-groupe fini (multiplicatif) d'un corps commutatif est cyclique.
Exercice 1.1 .13
On suppose que G est un groupe tel que : Vx E G, x
2
= e; autrement dit, tous les éléments
différents de e sont d'ordre 2. Montrer que G est commutatif.
Exercice 1.1.14
Montrer que si le cardinal d'un groupe G est pair, alors il existe dans G un élément d'ordre
2. Réciproque? On verra une généralisation dans le chapitre 3 (lemme de Cauchy).
Exercice 1.1.15
Démontrer qu'un groupe est fini ssi il a un nombre fini de sous-groupes.
Nous sommes maintenant en mesure de classer tous les groupes finis ayant moins de sept
éléments. Cette classification des groupes finis se poursuivra tout au long de cet ouvrage ;
en annexe, un tableau regroupe les principaux résultats concernant ces groupes finis de
petit cardinal.
Exercice 1 .1 .16
Montrer que tout groupe ayant p éléments, où p est premier, est un groupe cyclique. Ainsi,
nous connaissons les groupes à 2, 3, 5 et 7 éléments. Ainsi, bien sûr, que le groupe à 1 seul
élément, que l'on notera souvent e, 1, ou même O dans un contexte commutatif.
Exercice 1. 1.17
Montrer qu'il y a deux groupes à quatre éléments, tous les deux commutatifs. Celui qui n'est
pas cyclique se note V et s'appelle groupe de Kl ein, ou groupe du rectangle.
Exercice 1.1. 18
Démontrer qu'il y a deux groupes à six éléments, dont l'un n'est pas commutatif.
Après les groupes cycliques et nos petits groupes, nous allons construire de nouveaux
exemples à l'aide de l'algèbre linéaire.
Exercice 1.1.19 (Des sous-groupes de matrices)
On note M(n , OC) l'espace vectoriel des matrices carrées à coefficients dans le corps OC. Montrer que les ensembles suivants sont des groupes pour la multiplication
1) L'ensemble des matrices de déterminant non nul, GL(n, OC) (groupe linéaire).
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
Exercice 1 .1. 12
Montrer qu'un groupe fini de cardinal n est cyclique ssi pour tout d divisant n, il existe un
seul sous-groupe de cardinal d. On utilisera l'exercice précédent. Montrer de même que tout
sous-groupe fini (multiplicatif) d'un corps commutatif est cyclique.
Exercice 1.1 .13
On suppose que G est un groupe tel que : Vx E G, x
2
= e; autrement dit, tous les éléments
différents de e sont d'ordre 2. Montrer que G est commutatif.
Exercice 1.1.14
Montrer que si le cardinal d'un groupe G est pair, alors il existe dans G un élément d'ordre
2. Réciproque? On verra une généralisation dans le chapitre 3 (lemme de Cauchy).
Exercice 1.1.15
Démontrer qu'un groupe est fini ssi il a un nombre fini de sous-groupes.
Nous sommes maintenant en mesure de classer tous les groupes finis ayant moins de sept
éléments. Cette classification des groupes finis se poursuivra tout au long de cet ouvrage ;
en annexe, un tableau regroupe les principaux résultats concernant ces groupes finis de
petit cardinal.
Exercice 1 .1 .16
Montrer que tout groupe ayant p éléments, où p est premier, est un groupe cyclique. Ainsi,
nous connaissons les groupes à 2, 3, 5 et 7 éléments. Ainsi, bien sûr, que le groupe à 1 seul
élément, que l'on notera souvent e, 1, ou même O dans un contexte commutatif.
Exercice 1. 1.17
Montrer qu'il y a deux groupes à quatre éléments, tous les deux commutatifs. Celui qui n'est
pas cyclique se note V et s'appelle groupe de Kl ein, ou groupe du rectangle.
Exercice 1.1. 18
Démontrer qu'il y a deux groupes à six éléments, dont l'un n'est pas commutatif.
Après les groupes cycliques et nos petits groupes, nous allons construire de nouveaux
exemples à l'aide de l'algèbre linéaire.
Exercice 1.1.19 (Des sous-groupes de matrices)
On note M(n , OC) l'espace vectoriel des matrices carrées à coefficients dans le corps OC. Montrer que les ensembles suivants sont des groupes pour la multiplication
1) L'ensemble des matrices de déterminant non nul, GL(n, OC) (groupe linéaire).
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