1 • Groupes - Groupes cycliques
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Exercice 1.1. 7
On appelle groupe monogène un groupe engendré par un élément G = (x) . Montrer
que G est infini, de la forme G = { ... , x1
, l, x, x
2
, x
3
, ... } ou fini de la forme G =
{l, x, x
2 , • • • ,x1•1
}. 1 Un exemple du premier cas est (Z, +), de générateur l; le second cas
est illustré par (Z/nZ, +), noté également Z/n, ou par U 11 , groupe multiplicatif des racines
n-ièmes de l'unité dans C. Dans le cas fini, on dit que G est un groupe cyclique.
La notion d'ordre d'un élément est liée aux groupes cycliques. Rappelons qu'on appelle
ordre d'un ensemble fini le nombre de ses éléments (on dit aussi cardinal). Il s'agit de
deux emplois différents du mot ordre ... Mais il y a quand même unHen.
Exercice 1.1.8
On appelle ordre d'un élément x d'un groupe G le plus petit entier n > 0 tel que x'' = e.
Sin n'existe pas, on dit que x est d'ordre infini. L'ordre de x est souvent noté lxl comme le
cardinal d'un ensemble.
l) Montrer que l'ordre de x est l'ordre (i.e. le cardinal) du sous-groupe engendré par x.
2) Montrer que si l'ordre de x est n, alors xi' = e {=:::} p E nZ.
3) Si l'ordre de x est n, quel est l'ordre de J 4) Si a et b commutent, que peut-on dire de l'ordre de ab en fonction des ordres de a et de
b ? On examinera le cas où les ordres de a et de b sont premiers entre eux.
5) Comparer les ordres de ab et de ba.
6) Dans un groupe fini, l'ordre de tout élément est fini. Réciproque?
Exercice 1.1.9
Déterminer les sous-groupes d'un groupe cyclique. Traiter le cas infini, puis le cas d'un
groupe cyclique d'ordre n; il y a alors un sous-groupe de cardinal d pour chaque entier d
divisant n. Que peut-on dire si n est premier?
Exercice 1 .1.1 0
Soit G un groupe cyclique d'ordre n engendré par x. On dit qu'un élément y de G est un
générateur si G = (y).
Montrer que les générateurs de G sont les éléments de la forme J< où k est premier avec n.
Détailler le cas où n = 12 puis où n est premier. On note (n) le nombre des générateurs d'un
groupe cyclique d'ordre n; il s'appelle indicateur d'Euler.
Exercice 1.1.11
Calculer (p),(p
a
) (avec p premier). Démontrer que:
Vx E N*, L (d) = n
dl11
1. On note J< le produit de x par lui-même k fois, avec les conventions habituelles pour x
0
= e et pour
J< = (x- 1 )- k si k est négatif.
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Exercice 1.1. 7
On appelle groupe monogène un groupe engendré par un élément G = (x) . Montrer
que G est infini, de la forme G = { ... , x1
, l, x, x
2
, x
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, ... } ou fini de la forme G =
{l, x, x
2 , • • • ,x1•1
}. 1 Un exemple du premier cas est (Z, +), de générateur l; le second cas
est illustré par (Z/nZ, +), noté également Z/n, ou par U 11 , groupe multiplicatif des racines
n-ièmes de l'unité dans C. Dans le cas fini, on dit que G est un groupe cyclique.
La notion d'ordre d'un élément est liée aux groupes cycliques. Rappelons qu'on appelle
ordre d'un ensemble fini le nombre de ses éléments (on dit aussi cardinal). Il s'agit de
deux emplois différents du mot ordre ... Mais il y a quand même unHen.
Exercice 1.1.8
On appelle ordre d'un élément x d'un groupe G le plus petit entier n > 0 tel que x'' = e.
Sin n'existe pas, on dit que x est d'ordre infini. L'ordre de x est souvent noté lxl comme le
cardinal d'un ensemble.
l) Montrer que l'ordre de x est l'ordre (i.e. le cardinal) du sous-groupe engendré par x.
2) Montrer que si l'ordre de x est n, alors xi' = e {=:::} p E nZ.
3) Si l'ordre de x est n, quel est l'ordre de J 4) Si a et b commutent, que peut-on dire de l'ordre de ab en fonction des ordres de a et de
b ? On examinera le cas où les ordres de a et de b sont premiers entre eux.
5) Comparer les ordres de ab et de ba.
6) Dans un groupe fini, l'ordre de tout élément est fini. Réciproque?
Exercice 1.1.9
Déterminer les sous-groupes d'un groupe cyclique. Traiter le cas infini, puis le cas d'un
groupe cyclique d'ordre n; il y a alors un sous-groupe de cardinal d pour chaque entier d
divisant n. Que peut-on dire si n est premier?
Exercice 1 .1.1 0
Soit G un groupe cyclique d'ordre n engendré par x. On dit qu'un élément y de G est un
générateur si G = (y).
Montrer que les générateurs de G sont les éléments de la forme J< où k est premier avec n.
Détailler le cas où n = 12 puis où n est premier. On note (n) le nombre des générateurs d'un
groupe cyclique d'ordre n; il s'appelle indicateur d'Euler.
Exercice 1.1.11
Calculer (p),
a
) (avec p premier). Démontrer que:
Vx E N*, L (d) = n
dl11
1. On note J< le produit de x par lui-même k fois, avec les conventions habituelles pour x
0
= e et pour
J< = (x- 1 )- k si k est négatif.
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