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Théorie des groupes
Exercice 1.1.2
Soit G un groupe fini, G = { e, xi , x2, ... , x 11 _ 1 } où e est l'élément neutre. On appelle table du
groupe la matrice T = (a;j) où a;j = x; * X j , Montrer que Test un« carré latin», c'est-à-dire
que sur chaque ligne et sur chaque colonne il y a un et un seul élément de G. Réciproquement,
est-ce que tout carré latin est la table d'un groupe?
Exercice 1.1.3
Soit G un groupe et S un sous-ensemble. Pourquoi peut-on parler du « sous-groupe engendré
par la partie S »? On le note (S) ou gr(S).
Exercice 1.1.4
Si H est un sous-ensemble fini d'un groupe G, stable pour la loi. Montrer que H est un
sous-groupe de G. Contre-exemple dans le cas de cardinal infini.
Après ces généralités, nous arrivons au premier résultat important de la théorie des
groupes, connu sous ie nom de théorème de Lagrange: tout sous-groupe d'un groupe
fini a pour cardinal un diviseur du cardinal du groupe. En démontrant ce théorème, on
introduit des définitions très importantes, celle de l'ensemble quotient G/H, celle de
l'indice d'un sous-groupe.
Exercice 1.1.5
Soit G un groupe, H un sous-groupe et x un élément de G. On note xH l'ensemble des
éléments de G qui s'écrivent xh, avec h E H.
1) Montrer que la relation xRy � y E xH est une relation d'équivalence.
2) Montrer que les classes d'équivalence sont de la forme xH et sont toutes en bijection avec
H. L'ensemble quotient, c'est-à-dire l'ensemble des classes d'équivalence est noté G/H.
Son cardinal s'appelle l'indice de H dans G, et il s'écrit [G : HJ.
3) À quelle condition a-t-on xH = H? Quelles sont les classes d'équivalence qui sont des
sous-groupes ?
4) Démontrer le théorème de Lagrange, si H est un sous-groupe d'un groupe fini G, alors
le cardinal de H est un diviseur du cardinal de G.
5) On définit de même les classes d'équivalence à droite, de la forme Hx. Montrer que les
classes à droite sont toutes en bijection avec H, et que l'ensemble quotient est en bijection
avec l'ensemble des classes à gauche.
Exercice 1.1.6
Soit H un sous-groupe d'indice fini de G, et Kun sous-groupe de G contenant H. Montrer
qu'il est d'indice fini dans G et que :
[G : HJ = [G : K][K : HJ
Premiers exemples de groupes, les groupes cycliques. Ils apparaîtront sous différents
aspects dans toute la théorie.
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Théorie des groupes
Exercice 1.1.2
Soit G un groupe fini, G = { e, xi , x2, ... , x 11 _ 1 } où e est l'élément neutre. On appelle table du
groupe la matrice T = (a;j) où a;j = x; * X j , Montrer que Test un« carré latin», c'est-à-dire
que sur chaque ligne et sur chaque colonne il y a un et un seul élément de G. Réciproquement,
est-ce que tout carré latin est la table d'un groupe?
Exercice 1.1.3
Soit G un groupe et S un sous-ensemble. Pourquoi peut-on parler du « sous-groupe engendré
par la partie S »? On le note (S) ou gr(S).
Exercice 1.1.4
Si H est un sous-ensemble fini d'un groupe G, stable pour la loi. Montrer que H est un
sous-groupe de G. Contre-exemple dans le cas de cardinal infini.
Après ces généralités, nous arrivons au premier résultat important de la théorie des
groupes, connu sous ie nom de théorème de Lagrange: tout sous-groupe d'un groupe
fini a pour cardinal un diviseur du cardinal du groupe. En démontrant ce théorème, on
introduit des définitions très importantes, celle de l'ensemble quotient G/H, celle de
l'indice d'un sous-groupe.
Exercice 1.1.5
Soit G un groupe, H un sous-groupe et x un élément de G. On note xH l'ensemble des
éléments de G qui s'écrivent xh, avec h E H.
1) Montrer que la relation xRy � y E xH est une relation d'équivalence.
2) Montrer que les classes d'équivalence sont de la forme xH et sont toutes en bijection avec
H. L'ensemble quotient, c'est-à-dire l'ensemble des classes d'équivalence est noté G/H.
Son cardinal s'appelle l'indice de H dans G, et il s'écrit [G : HJ.
3) À quelle condition a-t-on xH = H? Quelles sont les classes d'équivalence qui sont des
sous-groupes ?
4) Démontrer le théorème de Lagrange, si H est un sous-groupe d'un groupe fini G, alors
le cardinal de H est un diviseur du cardinal de G.
5) On définit de même les classes d'équivalence à droite, de la forme Hx. Montrer que les
classes à droite sont toutes en bijection avec H, et que l'ensemble quotient est en bijection
avec l'ensemble des classes à gauche.
Exercice 1.1.6
Soit H un sous-groupe d'indice fini de G, et Kun sous-groupe de G contenant H. Montrer
qu'il est d'indice fini dans G et que :
[G : HJ = [G : K][K : HJ
Premiers exemples de groupes, les groupes cycliques. Ils apparaîtront sous différents
aspects dans toute la théorie.
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