Chapitre 1
Groupes
Groupes cycliques
1.1 GROUPES, SOUS-GROUPES, ORDRE
Un groupe G ou (G, *) est un ensemble muni d'une loi* associative qui admet un élément
neutre et pour laquelle tout élément a un symétrique. Cela s'écrit:
Si, de plus:
Vx,y,z E G, X* (y* z) = ( X*Y) *Z
3e E G, x * e = e * x = x
Vx E G, 3 x' E G, X* x' =x' *X=e
Vx,yEG, X*Y=Y*X
on dit que la loi est commutative, G est commutatif ou abélien. On note la loi de composition par*, par x, ou par ... rien du tout. Si la loi est commutative, on écrit plutôt+.
On montre facilement que l'élément neutre est unique, il est notée, 1 ou O dans le cas
d'une loi commutative; le symétrique de x est également unique, il est noté x1
ou -x
(cas commutatif).
Un sous-groupe de G est un sous-ensemble de G qui est lui-même un groupe (pour la
même loi de composition). Ainsi { e} et G lui-même sont des sous-groupes de G, appelés
sous-groupes triviaux. Si H est un sous-groupe de G, on écrit: H::,;; G.
Exercice 1.1.1
Montrer qu'un ensemble G muni d'une loi associative est un groupe si et seulement si
3e E G, Va E G, e *a= a
Va E G, 3b E G, b *a= e
Autrement dit, il suffit qu'il existe un élément neutre à gauche et un symétrique à gauche.
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