Solutions des problèmes
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2) Une démarche possible, naïve. Partant d'un sous-groupe strict H d'un groupe fini G, on
considère les sous-groupes (H, x) où x est dans G \ H. Si tous ces sous-groupes coïncident
avec G, H est maximal. Sinon, on continue, et ce processus est effectif puisque G est fini.
On a en fait montré que tout sous-groupe strict est inclus dans un sous-groupe maximal.
3) Soit H un sous-groupe maximal de Ql, s'il en existe. Le quotient Ql/H qui est commutatif,
ne peut être qu'un groupe sans sous-groupe, donc cyclique de cardinal p premier (voir le
théorème de correspondance). Or Ql n'admet aucun sous-groupe d'indice fini. Si en effet
Ql/H était de cardinal n, tout élément de ce quotient serait d'ordre n, ce qui se traduit par:
Vr E Ql, nr EH
Or tout rationnel peut se mettre sous la forme nr ( � = n-/fq), donc H = Ql. Rappelons que
la propriété que nous venons d'utiliser traduit que (Ql, +) est un groupe divisible (4.3.)
4) Si M est d'indice p premier, alors il ne peut exister de sous-groupe strictement inclus entre
M et le groupe entier G : cela est du à l'égalité
[G : M] = [G : N] [N : M]
valable pour une chaîne de sous-groupes (voir l. l.6). A contrario, un sous-groupe d'indice
non premier peut être maximal : dans S 4 , il existe des sous-groupes d'indice 4, comme
le stabilisateur de 4, isomorphe à S 3 (en fait, tout sous-groupe d'indice 4 est isomorphe
à S 3 , voir 3.2. 1 l). Ce sous-groupe est maximal : il ne pourrait en effet être inclus que
dans un sous-groupe d'ordre 12; or, comme tout groupe symétrique, S 4 n'admet qu'un
sous-groupe d'indice 2, c'est le groupe alterné Ai. Comme notre sous-groupe d'ordre 6
contient des transpositions, il n'est pas inclus dans le groupe alterné et est donc maximal.
Un commentaire: il est rare qu'un sous-groupe d'indice 4 soit maximal...
5) Si M est normal d'indice non premier, le théorème de correspondance montre qu'il y a
bijection entre les sous-groupes de G contenant M et les sous-groupes de G /M ; comme
ce dernier est de cardinal non premier, il a des sous-groupes non triviaux (par exemple
des Sylow), et M est n'est pas maximal. Dans l'autre sens, cela est dit dans la question
précédente.
6) Supposons que le groupe fini G n'ait qu'un sous-groupe maximal, noté M. Alors soit x
un élément de G \ M. Le groupe (x) est inclus dans un sous-groupe maximal ou coïncide
avec G : comme x n'est pas dans M, (x) = G qui est donc cyclique fini. L'étude des sousgroupes maximaux de Z/n nous a convaincu qu'il n'y a qu'un sous-groupe maximal ssi G
est cyclique primaire, d'ordre p
1
' où p est premier, et M est le (seul) sous-groupe d'ordre
p"- 1 .
7) On rappelle qu'un sous-groupe de G est caractéristique s'il est stable par tout isomorphisme de G. Si on note M l'ensemble des sous-groupes maximaux de G, alors l'image
par un isomorphisme a d'un élément de M est aussi un élément de M (a induit une bijection entre les sous-groupes compris entre H et G et ceux compris entre a(H) et G). Ainsi,
un automorphisme permute les éléments de M, donc conserve leur intersection(G). Le
sous-groupe de Frattini est caractéristique dans G donc normal dans G.
Notre étude des sous-groupes maximaux du groupe cyclique Z/n montre que leur
intersection est le groupe engendré par p 1 p2 • · · P k où les p; sont les facteurs premiers de n.
Le sous-groupe de Frattini de S,, est réduit au neutre : en effet, les stabilisateurs de 1, 2,
... , n sont des sous-groupes maximaux : on peut le démontrer« à la main», mais il est plus
direct de se servir des arguments donnés dans le problème 6.2 (partie 6.3.2), et de dire que,
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2) Une démarche possible, naïve. Partant d'un sous-groupe strict H d'un groupe fini G, on
considère les sous-groupes (H, x) où x est dans G \ H. Si tous ces sous-groupes coïncident
avec G, H est maximal. Sinon, on continue, et ce processus est effectif puisque G est fini.
On a en fait montré que tout sous-groupe strict est inclus dans un sous-groupe maximal.
3) Soit H un sous-groupe maximal de Ql, s'il en existe. Le quotient Ql/H qui est commutatif,
ne peut être qu'un groupe sans sous-groupe, donc cyclique de cardinal p premier (voir le
théorème de correspondance). Or Ql n'admet aucun sous-groupe d'indice fini. Si en effet
Ql/H était de cardinal n, tout élément de ce quotient serait d'ordre n, ce qui se traduit par:
Vr E Ql, nr EH
Or tout rationnel peut se mettre sous la forme nr ( � = n-/fq), donc H = Ql. Rappelons que
la propriété que nous venons d'utiliser traduit que (Ql, +) est un groupe divisible (4.3.)
4) Si M est d'indice p premier, alors il ne peut exister de sous-groupe strictement inclus entre
M et le groupe entier G : cela est du à l'égalité
[G : M] = [G : N] [N : M]
valable pour une chaîne de sous-groupes (voir l. l.6). A contrario, un sous-groupe d'indice
non premier peut être maximal : dans S 4 , il existe des sous-groupes d'indice 4, comme
le stabilisateur de 4, isomorphe à S 3 (en fait, tout sous-groupe d'indice 4 est isomorphe
à S 3 , voir 3.2. 1 l). Ce sous-groupe est maximal : il ne pourrait en effet être inclus que
dans un sous-groupe d'ordre 12; or, comme tout groupe symétrique, S 4 n'admet qu'un
sous-groupe d'indice 2, c'est le groupe alterné Ai. Comme notre sous-groupe d'ordre 6
contient des transpositions, il n'est pas inclus dans le groupe alterné et est donc maximal.
Un commentaire: il est rare qu'un sous-groupe d'indice 4 soit maximal...
5) Si M est normal d'indice non premier, le théorème de correspondance montre qu'il y a
bijection entre les sous-groupes de G contenant M et les sous-groupes de G /M ; comme
ce dernier est de cardinal non premier, il a des sous-groupes non triviaux (par exemple
des Sylow), et M est n'est pas maximal. Dans l'autre sens, cela est dit dans la question
précédente.
6) Supposons que le groupe fini G n'ait qu'un sous-groupe maximal, noté M. Alors soit x
un élément de G \ M. Le groupe (x) est inclus dans un sous-groupe maximal ou coïncide
avec G : comme x n'est pas dans M, (x) = G qui est donc cyclique fini. L'étude des sousgroupes maximaux de Z/n nous a convaincu qu'il n'y a qu'un sous-groupe maximal ssi G
est cyclique primaire, d'ordre p
1
' où p est premier, et M est le (seul) sous-groupe d'ordre
p"- 1 .
7) On rappelle qu'un sous-groupe de G est caractéristique s'il est stable par tout isomorphisme de G. Si on note M l'ensemble des sous-groupes maximaux de G, alors l'image
par un isomorphisme a d'un élément de M est aussi un élément de M (a induit une bijection entre les sous-groupes compris entre H et G et ceux compris entre a(H) et G). Ainsi,
un automorphisme permute les éléments de M, donc conserve leur intersection
sous-groupe de Frattini est caractéristique dans G donc normal dans G.
Notre étude des sous-groupes maximaux du groupe cyclique Z/n montre que leur
intersection est le groupe engendré par p 1 p2 • · · P k où les p; sont les facteurs premiers de n.
Le sous-groupe de Frattini de S,, est réduit au neutre : en effet, les stabilisateurs de 1, 2,
... , n sont des sous-groupes maximaux : on peut le démontrer« à la main», mais il est plus
direct de se servir des arguments donnés dans le problème 6.2 (partie 6.3.2), et de dire que,
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