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Théorie des groupes
Et le groupe correspondant a quatre éléments, il est isomorphe au groupe du rectangle
(ce qu'on vérifie bien en regardant la figure formée par les points 3, 5, 6 et 7).
En conclusion le cardinal de G est 7 x 6 x 4 = 168.
2) On a déjà constaté que CJ' est un automorphisme du graphe. C'est aussi le cas de 'T , d'après
la fin de la question précédente. De plus, ces deux permutations sont paires, le groupe
engendré est donc inclus dans A1 , qui a 2520 éléments. Le groupe engendré par CJ' est de
cardinal 7. Par ailleurs :
C]' 0 'T = (1, 2, 3)(4, 5, 7)
est un élément d'ordre 3. De plus, si on pose:
et
ex= C]' 0 'T O (J'- I O 'T- I = (1,4)(3,6,5, 7)
13 = C]' 0 'T O (J'- I = (1,4)(6, 7)
on peut envisager le groupe (ex, 13). Comme ex est d'ordre 4, 13 et d'ordre 2 et comme
13 oex O 13- t = (1,4)(3, 7,5,6) : ex- !
ce groupe est le groupe diédral d'ordre huit. Le groupe H contient des sous-groupes d'ordre
7, 3 et 8, il est donc de cardinal supérieur à 168. Comme il est inclus dans G, de cardinal
168, il coïncide avec G.
3) Notre plan de Fano est en effet le graphe de P
2 (1F2). Une bijection est par exemple obtenue
en prenant les trois points 3, 4, 1 comme projeté des vecteurs (1, 0, 0), (0, l, 0) et (0, 0, 1).
Le point 5 est alors le point de coordonnées projectives ( 1, 1, 1 ), c'est le point unité. Les
trois autres points sont les projetés de la somme de deux vecteurs de base : 6, par exemple,
est l'image du vecteur de coordonnées (1, 1, 0) = (1, 0, 0) + (0, 1, 1), il est aligné avec 3 et
4. Comme (1, 1, 0) = (1, 1, 1) + (0, 0, 1), il est également aligné avec 1 et 5, etc. Les homographies sont alors les bijections qui conservent l'alignement, ce sont des isomorphismes
du graphe. Par exemple, les deux permutations CJ' et ,. sont les images des homographies
de matrices respectives :
et
(
1 0 0
)
0 l 0
1 0 1
On conclut en rappelant que dans le problème 6.3., nous avons démontré la simplicité de la
quasi-totalité des groupes spéciaux projectifs linéaires. Notre groupe G est donc un groupe
simple à 168 éléments.
Il est possible de montrer que c'est le seul groupe simple de cardinal 168. L'idée de la
démonstration est, prenant un groupe simple à 168 éléments, est de trouver« à l'intérieur»
de ce groupe, une image du plan de Fano.
6.7 SOUS-GROUPES MAXIMAUX
1) Les sous-groupes maximaux de Z sont les groupes pZ où p est premier : il n'y a pas
de diviseur d'un nombre premier autre que 1 et lui-même, équivaut à : il n'existe pas de
groupe strictement compris entre Z et pZ. De la même façon, les sous-groupes maximaux
de Z/n sont ceux engendrés par les diviseurs premiers de n.
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Et le groupe correspondant a quatre éléments, il est isomorphe au groupe du rectangle
(ce qu'on vérifie bien en regardant la figure formée par les points 3, 5, 6 et 7).
En conclusion le cardinal de G est 7 x 6 x 4 = 168.
2) On a déjà constaté que CJ' est un automorphisme du graphe. C'est aussi le cas de 'T , d'après
la fin de la question précédente. De plus, ces deux permutations sont paires, le groupe
engendré est donc inclus dans A1 , qui a 2520 éléments. Le groupe engendré par CJ' est de
cardinal 7. Par ailleurs :
C]' 0 'T = (1, 2, 3)(4, 5, 7)
est un élément d'ordre 3. De plus, si on pose:
et
ex= C]' 0 'T O (J'- I O 'T- I = (1,4)(3,6,5, 7)
13 = C]' 0 'T O (J'- I = (1,4)(6, 7)
on peut envisager le groupe (ex, 13). Comme ex est d'ordre 4, 13 et d'ordre 2 et comme
13 oex O 13- t = (1,4)(3, 7,5,6) : ex- !
ce groupe est le groupe diédral d'ordre huit. Le groupe H contient des sous-groupes d'ordre
7, 3 et 8, il est donc de cardinal supérieur à 168. Comme il est inclus dans G, de cardinal
168, il coïncide avec G.
3) Notre plan de Fano est en effet le graphe de P
2 (1F2). Une bijection est par exemple obtenue
en prenant les trois points 3, 4, 1 comme projeté des vecteurs (1, 0, 0), (0, l, 0) et (0, 0, 1).
Le point 5 est alors le point de coordonnées projectives ( 1, 1, 1 ), c'est le point unité. Les
trois autres points sont les projetés de la somme de deux vecteurs de base : 6, par exemple,
est l'image du vecteur de coordonnées (1, 1, 0) = (1, 0, 0) + (0, 1, 1), il est aligné avec 3 et
4. Comme (1, 1, 0) = (1, 1, 1) + (0, 0, 1), il est également aligné avec 1 et 5, etc. Les homographies sont alors les bijections qui conservent l'alignement, ce sont des isomorphismes
du graphe. Par exemple, les deux permutations CJ' et ,. sont les images des homographies
de matrices respectives :
et
(
1 0 0
)
0 l 0
1 0 1
On conclut en rappelant que dans le problème 6.3., nous avons démontré la simplicité de la
quasi-totalité des groupes spéciaux projectifs linéaires. Notre groupe G est donc un groupe
simple à 168 éléments.
Il est possible de montrer que c'est le seul groupe simple de cardinal 168. L'idée de la
démonstration est, prenant un groupe simple à 168 éléments, est de trouver« à l'intérieur»
de ce groupe, une image du plan de Fano.
6.7 SOUS-GROUPES MAXIMAUX
1) Les sous-groupes maximaux de Z sont les groupes pZ où p est premier : il n'y a pas
de diviseur d'un nombre premier autre que 1 et lui-même, équivaut à : il n'existe pas de
groupe strictement compris entre Z et pZ. De la même façon, les sous-groupes maximaux
de Z/n sont ceux engendrés par les diviseurs premiers de n.
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