Solutions des problèmes
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7) K est bien sûr un groupe, comme intersection de groupes. Tout élément de K s'écrit
A - (
a b )
- 0 !
a
où a est inversible, b quelconque dans IF 4 • Il y a donc 3 x 4 éléments. Le plus rapide est
sans doute de rechercher les éléments d'ordre 2. On constate que A 2 = I équivaut à
{
a i = 1
b (a + �) = 0
Comme. la première condition donne seulement a = 1, on voit que b est quelconque :
il y a trois éléments d'ordre 2 qui, avec la matrice /, forment un sous-groupe d'ordre 4,
isomorphe au groupe de Klein. D'après la première question, notre groupe est isomorphe
au groupe alterné Ai. C'est bien sûr un sous-groupe de SL(2, IF 4 ) dont nous savons (3.5. 1)
qu'il est isomorphe au groupe As.
6.6 UN GROUPE D'ORDRE 168
1) Procédons par étapes :
- L'action de G sur les sommets est transitive : l'orbite de 1, par exemple, est constituée des sept points, on peut le vérifier par exemple en constatant que le cycle O" =
(1, 2, 3,4, 5, 6, 7) stabilise l'ensemble D (il conserve l'alignement). Si G 1 est le stabilisateur de 1, le cardinal de G/G 1 est donc 7.
- Examinons maintenant l'action de G 1 : l'orbite de 2 est constituée des six points différents de 1 : il existe en effet toujours une droite reliant l aux six autres points, et les
sept droites sont interchangeables. Le cardinal de G 1 /G 1 , 2 est donc 6.
- Si on considère maintenant l'action restreinte à G 1 , 2 : le point 4 est nécessairement fixe
puisque 1, 2 et 4 sont alignés; il s'agit de permuter les quatre autres sommets de sorte
que la structure de graphe soit conservée : il est facile de voir qu'il n'y a que quatre
solutions, une fois l'image de 3 choisie parmi les quatre possibles :
3
6
4
5
7
4
6
3
4
7
3
4
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7) K est bien sûr un groupe, comme intersection de groupes. Tout élément de K s'écrit
A - (
a b )
- 0 !
a
où a est inversible, b quelconque dans IF 4 • Il y a donc 3 x 4 éléments. Le plus rapide est
sans doute de rechercher les éléments d'ordre 2. On constate que A 2 = I équivaut à
{
a i = 1
b (a + �) = 0
Comme. la première condition donne seulement a = 1, on voit que b est quelconque :
il y a trois éléments d'ordre 2 qui, avec la matrice /, forment un sous-groupe d'ordre 4,
isomorphe au groupe de Klein. D'après la première question, notre groupe est isomorphe
au groupe alterné Ai. C'est bien sûr un sous-groupe de SL(2, IF 4 ) dont nous savons (3.5. 1)
qu'il est isomorphe au groupe As.
6.6 UN GROUPE D'ORDRE 168
1) Procédons par étapes :
- L'action de G sur les sommets est transitive : l'orbite de 1, par exemple, est constituée des sept points, on peut le vérifier par exemple en constatant que le cycle O" =
(1, 2, 3,4, 5, 6, 7) stabilise l'ensemble D (il conserve l'alignement). Si G 1 est le stabilisateur de 1, le cardinal de G/G 1 est donc 7.
- Examinons maintenant l'action de G 1 : l'orbite de 2 est constituée des six points différents de 1 : il existe en effet toujours une droite reliant l aux six autres points, et les
sept droites sont interchangeables. Le cardinal de G 1 /G 1 , 2 est donc 6.
- Si on considère maintenant l'action restreinte à G 1 , 2 : le point 4 est nécessairement fixe
puisque 1, 2 et 4 sont alignés; il s'agit de permuter les quatre autres sommets de sorte
que la structure de graphe soit conservée : il est facile de voir qu'il n'y a que quatre
solutions, une fois l'image de 3 choisie parmi les quatre possibles :
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