210
Théorie des groupes
Il y aura trois choix possibles pour l'image de s parmi les matrices d'ordre 2 qui ont même
diagonale que set deux choix pour l'image de r, elle-même et r
5
= ( �
l
= ! ) cela fait
bien six éléments.
4) Il faut trouver un automorphisme qui ne soit pas intérieur. Une bonne idée est d'utiliser le
déterminant... Il suffit de définir par: : Mi--+ det(M) x M. Et ce n'est pas un automorphisme intérieur, car la diagonale n'est pas conservée si les deux éléments diagonaux sont
distincts. Une autre façon d'écrire est:
On a utilisé a
2
= c
2
= 1, puisque a = ± 1 et c = ± 1. Remarquons enfin que
2
= id et que
si iJ, est un automorphisme extérieur, alors les éléments diagonaux sont échangés s'ils sont
distincts (voir les choix possibles pour l'image d'un élément d'ordre 2). On en déduit que
iJ, o est un automorphisme qui conserve la diagonale, c'est un automorphisme intérieur,
et l'ensemble des automorphismes de notre groupe est en bijection avec le produit ensembliste S 3 x Z/2. Comme il n'y a pas de relèvement de Z/2 dans le centre, il s'agit d'un
produit semi-direct.
En définitive, le groupe des automorphismes de ][)) 12 est un groupe isomorphe à S 3 ><1
Z/2, lequel est isomorphe à ... ][)) 12 • Et pourtant, les automorphismes ne sont pas tous
intérieurs. Une remarque, nous avons déjà vu (3.3. 12) que le groupe des automorphismes
du groupe diédral ][))2 11 est l'holomorphe du groupe cyclique Z/n. Or cet holomorphe est
produit semi-direct du groupe cyclique Z/n par le groupe de ses automorphismes. Et ce
dernier est isomorphe au groupe des inversibles de l'anneau Z/n (cf.3.3.7). Pour n = 3, cet
holomorphe est donc de la forme Z/n ><1 Z/2. C'est donc bien le groupe diédral lui-même.
5) Le calcul a déjà été explicité : on cherche une matrice inversible, le choix de la première
colonne se fait parmi les vecteurs non nuls, il y a 3
2
- 1 = 8 possibilités. Le choix de la
seconde colonne se limite aux 3
2
- 3 = 6 vecteurs indépendants restant. Le groupe a donc
48 éléments.
6) G agit sur G /H par translation. Le noyau de l'action est l'ensemble des éléments x
de G tels que xgH = gH pour tout g, c'est donc Ker = n gEH gHg- 1 . Comme ff est
l'ensemble des matrices triangulaires supérieures, cette intersection est facile à calculer.
En effet, un conjugué de H est l'ensemble des matrices triangulaires inférieures (prendre
pour g la matrice ( � �) ), donc le noyau de ne contient que des matrices diagonales.
E
.
l (
1 1 )
.
1· ·
.
.
n prenant une autre matrice, par exemp e
1 0
, on vmt que mtersect10n ne contient
que des matrices scalaires : en définitive, le noyau de , contient ±1, qui constitue Z(G).
Le groupe G/Z(G) est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de G/H.
Mais comme H est de cardinal 12 il est d'indice 4 et ce groupe symétrique est S 4 • Comme
le cardinal de G/ Z(G) est 24, on en déduit:
résultat déjà obtenu (plus facilement...) dans l'exercice 3.5. 1.
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
Il y aura trois choix possibles pour l'image de s parmi les matrices d'ordre 2 qui ont même
diagonale que set deux choix pour l'image de r, elle-même et r
5
= ( �
l
= ! ) cela fait
bien six éléments.
4) Il faut trouver un automorphisme qui ne soit pas intérieur. Une bonne idée est d'utiliser le
déterminant... Il suffit de définir par: : Mi--+ det(M) x M. Et ce n'est pas un automorphisme intérieur, car la diagonale n'est pas conservée si les deux éléments diagonaux sont
distincts. Une autre façon d'écrire est:
On a utilisé a
2
= c
2
= 1, puisque a = ± 1 et c = ± 1. Remarquons enfin que
2
= id et que
si iJ, est un automorphisme extérieur, alors les éléments diagonaux sont échangés s'ils sont
distincts (voir les choix possibles pour l'image d'un élément d'ordre 2). On en déduit que
iJ, o est un automorphisme qui conserve la diagonale, c'est un automorphisme intérieur,
et l'ensemble des automorphismes de notre groupe est en bijection avec le produit ensembliste S 3 x Z/2. Comme il n'y a pas de relèvement de Z/2 dans le centre, il s'agit d'un
produit semi-direct.
En définitive, le groupe des automorphismes de ][)) 12 est un groupe isomorphe à S 3 ><1
Z/2, lequel est isomorphe à ... ][)) 12 • Et pourtant, les automorphismes ne sont pas tous
intérieurs. Une remarque, nous avons déjà vu (3.3. 12) que le groupe des automorphismes
du groupe diédral ][))2 11 est l'holomorphe du groupe cyclique Z/n. Or cet holomorphe est
produit semi-direct du groupe cyclique Z/n par le groupe de ses automorphismes. Et ce
dernier est isomorphe au groupe des inversibles de l'anneau Z/n (cf.3.3.7). Pour n = 3, cet
holomorphe est donc de la forme Z/n ><1 Z/2. C'est donc bien le groupe diédral lui-même.
5) Le calcul a déjà été explicité : on cherche une matrice inversible, le choix de la première
colonne se fait parmi les vecteurs non nuls, il y a 3
2
- 1 = 8 possibilités. Le choix de la
seconde colonne se limite aux 3
2
- 3 = 6 vecteurs indépendants restant. Le groupe a donc
48 éléments.
6) G agit sur G /H par translation. Le noyau de l'action est l'ensemble des éléments x
de G tels que xgH = gH pour tout g, c'est donc Ker = n gEH gHg- 1 . Comme ff est
l'ensemble des matrices triangulaires supérieures, cette intersection est facile à calculer.
En effet, un conjugué de H est l'ensemble des matrices triangulaires inférieures (prendre
pour g la matrice ( � �) ), donc le noyau de ne contient que des matrices diagonales.
E
.
l (
1 1 )
.
1· ·
.
.
n prenant une autre matrice, par exemp e
1 0
, on vmt que mtersect10n ne contient
que des matrices scalaires : en définitive, le noyau de , contient ±1, qui constitue Z(G).
Le groupe G/Z(G) est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de G/H.
Mais comme H est de cardinal 12 il est d'indice 4 et ce groupe symétrique est S 4 • Comme
le cardinal de G/ Z(G) est 24, on en déduit:
résultat déjà obtenu (plus facilement...) dans l'exercice 3.5. 1.
www.bibliomath.com