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Théorie des groupes
S 11 étant primitif, le stabilisateur d'un élément est un sous-groupe maximal. L'intersection
de ces stabilisateurs fixe 1, 2, ... , n, c'est l'identité.
8) Soit x un non générateur et M un sous-groupe maximal. Si x n'est pas dans M, alors (M, x)
est un sous-groupe de G contenant strictement M, c'est G. l'ensemble S = MU {x} est
donc générateur, tandis que S \ { x} ne l'est pas : on en déduit que les non-générateurs sont
inclus dans tout sous-groupe maximal, donc dans (G). Réciproquement, cela fonctionne
un peu pareil : si x est dans (G), supposons que G = (S, x). Alors, si S ne suffit pas
à engendrer G, il est inclus dans un sous-groupe maximal M. Mais x est aussi dans tout
sous-groupe maximal, donc (S, w) � M, absurde.
Un exemple, dans le cas de Z/ 12, le sous-groupe de Frattini contient O et 6, ce qui
signifie que ces deux éléments peuvent être enlevé d'une partie génératrice quelconque
sans que cette partie cesse d'être génératrice. Ce n'est pas le cas de, par exemple 4, qui
ne peut être ôté de la partie {3, 4}. Par contre, 4 n'est pas un « générateur » du groupe
cyclique, au sens où 4 n'engendre pas à lui seul Z/ 12.
9) On sait que (G) est caractéristique dans G, en particulier il est normal dans G. On peut
lui appliquer le lemme de Frattini : si on se donne un p-Sylow S de (G), on a :
G = (G)Nc(S)
Mais comme (G) est entièrement constitué de «non-générateurs», on peut se passer de
ses éléments, et G = Nc (S). Cela signifie que S (G). On en déduit
(5.3.7) que le groupe de Frattini est toujours nilpotent.
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