Solutions des problèmes
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6.4 SUR LES SOUS-GROUPES
1) On sait que H � K, il faut montrer que K � H. Soit x quelconque dans K. Comme
K c KL = HL, on a :
:lh E H, :ll E L, x = hl
Mais alors l = h1
x E K, et donc l E Ln K =Ln H et l E H. On en conclut que x
produit de deux éléments de H est dans H.
Dans le cadre des espaces vectoriels, cette propriété s'écrit :
HnL = Kn L }
H+ L = K+ L
H C K
H= K
Elle peut se démontrer comme nous l'avons fait ou, dans le cas de la dimension finie, en
utilisant la formule de Grassmann :
dim(H + L) = dim H + dim L - dim(H n L)
Remarquons que, dans cette question, les ensembles HL et KL ne sont pas forcément des
sous-groupes.
2) Il est immédiat que H(L n K) c (HL) n K puisque :
LnKc L
H(LnK ) c HL
et
HcK et LnKc K
H(LnK ) c K
Pour la réciproque, on va revenir aux éléments : soit k E (HL) n K. Alors il existe h E H
et l E L tels que k = hl, mais alors l = h1
k E K puisque H c K. Donc l E Ln K,
c'est-à-dire que HL n K c H(L n K) .
En notation additive, on a donc
(H + L) n K = H +(Ln K)
Sans hypothèse, cette égalité n'a pas lieu, il suffit de prendre par exemple trois droites
distinctes d'un plan vectoriel.
3) Si H et K sont deux sous-groupes de G, alors H n K est un sous-groupe de G, et il
contient tous les sous-groupes de G qui sont inclus dans H et dans K: c'est donc la borne
inférieure. Par ailleurs, le groupe (H, K) , engendré par H et K est, par définition, le plus
petit sous-groupe de G qui contienne H et K: c'est la borne supérieure. On a donc :
HVK =HnK
et
H/\K = (H,K)
4) Les démonstrations sont immédiates, ce sont des traductions directes : par exemple, si
H � K alors H est minorant commun de H et de K, et c'est le plus grand, car tout
minorant commun est inférieur à H, et donc H = H !\ K. De même, H = H !\ K implique
que H minore H et K. On traite de même l'autre équivalence, et la rédaction montre que
l'on n'utilise que les propriétés d'un treillis.
5) L'étude faite des sous-groupes d'un groupe cyclique prouve que le treillis des sous-groupes
est en bijection avec l'ensemble des diviseurs de n. Si l'on munit cet ensemble de la relation
« divise», ces deux treillis sont isomorphes.
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6.4 SUR LES SOUS-GROUPES
1) On sait que H � K, il faut montrer que K � H. Soit x quelconque dans K. Comme
K c KL = HL, on a :
:lh E H, :ll E L, x = hl
Mais alors l = h1
x E K, et donc l E Ln K =Ln H et l E H. On en conclut que x
produit de deux éléments de H est dans H.
Dans le cadre des espaces vectoriels, cette propriété s'écrit :
HnL = Kn L }
H+ L = K+ L
H C K
H= K
Elle peut se démontrer comme nous l'avons fait ou, dans le cas de la dimension finie, en
utilisant la formule de Grassmann :
dim(H + L) = dim H + dim L - dim(H n L)
Remarquons que, dans cette question, les ensembles HL et KL ne sont pas forcément des
sous-groupes.
2) Il est immédiat que H(L n K) c (HL) n K puisque :
LnKc L
H(LnK ) c HL
et
HcK et LnKc K
H(LnK ) c K
Pour la réciproque, on va revenir aux éléments : soit k E (HL) n K. Alors il existe h E H
et l E L tels que k = hl, mais alors l = h1
k E K puisque H c K. Donc l E Ln K,
c'est-à-dire que HL n K c H(L n K) .
En notation additive, on a donc
(H + L) n K = H +(Ln K)
Sans hypothèse, cette égalité n'a pas lieu, il suffit de prendre par exemple trois droites
distinctes d'un plan vectoriel.
3) Si H et K sont deux sous-groupes de G, alors H n K est un sous-groupe de G, et il
contient tous les sous-groupes de G qui sont inclus dans H et dans K: c'est donc la borne
inférieure. Par ailleurs, le groupe (H, K) , engendré par H et K est, par définition, le plus
petit sous-groupe de G qui contienne H et K: c'est la borne supérieure. On a donc :
HVK =HnK
et
H/\K = (H,K)
4) Les démonstrations sont immédiates, ce sont des traductions directes : par exemple, si
H � K alors H est minorant commun de H et de K, et c'est le plus grand, car tout
minorant commun est inférieur à H, et donc H = H !\ K. De même, H = H !\ K implique
que H minore H et K. On traite de même l'autre équivalence, et la rédaction montre que
l'on n'utilise que les propriétés d'un treillis.
5) L'étude faite des sous-groupes d'un groupe cyclique prouve que le treillis des sous-groupes
est en bijection avec l'ensemble des diviseurs de n. Si l'on munit cet ensemble de la relation
« divise», ces deux treillis sont isomorphes.
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